ε-N論法の定義・記号の意味・例題・気持ちについて

1. ε-N論法とは

はるか

んー。唐突すぎてわからん。

ふゅか

じゃっさ、数式を丁寧に見てみよう！

2. ε-N論法の気持ち

2.1. 記号

はるか

まず、記号について。

• $\forall $・・・「任意の」という意味。つまり、$\forall \epsilon > 0,$とは、任意の正の値εという意味です。
• $\exists$・・・「存在する」という意味。つまり、$\exists N > 0$とは、正の値Nが存在するという意味です。
• $ \text{such that}$・・・「条件を満たすように」という意味。今回の場合は「$\forall \epsilon > 0$と$\exists N > 0$の条件を満たすように」という意味になる。
• $\ n > N \Rightarrow |a_n - \alpha| < \epsilon$・・・$n>N$ならば、$ |a_n - \alpha|< \epsilon$となる。

つまり、「任意の \(\epsilon > 0\) に対して、ある自然数 \(N\) が存在し、すべての \(n > N\) に対して \(|a_n - \alpha| < \epsilon\) が成立するとき、$\displaystyle\lim_{n\leftarrow \infty} a_n=\alpha$となる。」

はるか

んー。まだわからん。特に不等式のところ。

不等式の部分に着目すると、$|a_n - \alpha| < \epsilon$より、

$$-\epsilon < a_n-\alpha < \epsilon$$

$$\therefore -\epsilon+\alpha < a_n < \epsilon+\alpha$$

はるか

なるほど。$\epsilon$がすごい小さくなれば、$a_n$は確かに$\alpha$に近づくな。

3. 例題

3.1. 例題1

まず、\(\{a_n\}\) が \(\alpha = 0\) に収束することを証明するために、ε-N論法を使用します。つまり、次の条件が成り立つことを示します。

\[ \forall \epsilon > 0, \exists N > 0 \text{ such that } n > N \Rightarrow |a_n - 0| < \epsilon \]

まず、\(|a_n - 0|\) を計算します。 \[ |a_n - 0| = \left|\frac{1}{n}\right| = \frac{1}{n} \]

次に、\(\frac{1}{n} < \epsilon\) となる \(n\) を見つけます。これは次のように変形できます。\[ \frac{1}{n} < \epsilon \quad \Rightarrow \quad n > \frac{1}{\epsilon} \]

したがって、\(\epsilon > 0\) に対して、\(N = \frac{1}{\epsilon}\) とすると、\(n > N\) のとき \(\frac{1}{n} < \epsilon\) が成り立ちます。

結論として、 任意の \(\epsilon > 0\) に対して、\(N = \frac{1}{\epsilon}\) とすると、\(n > N\) のとき \(|a_n - 0| = \frac{1}{n} < \epsilon\) となります。

3.2. 例題2

まず、\(\{a_n\} = \sqrt[n]{2} = 2^{\frac{1}{n}}\) が \(\alpha = 1\) に収束するための条件は、次の不等式が成り立つことです。

\[ |a_n - 1| = |2^{\frac{1}{n}} - 1| < \epsilon \]

この不等式を解いて、対応する \(n\) を見つけます。

まず、不等式を次のように変形します。 \[ |2^{\frac{1}{n}} - 1| < \epsilon \]

この不等式は次のように変形できます。 \[ 2^{\frac{1}{n}} - 1 < \epsilon \]

両辺に \(1\) を足して、不等式を次のように変形します。 \[ 2^{\frac{1}{n}} < 1 + \epsilon \]

ここで、両辺の対数を取ります（自然対数）。\[ \frac{1}{n} \ln 2 < \ln(1 + \epsilon) \]

次に、不等式を \(n\) について解きます。 \[ n > \frac{\ln 2}{\ln(1 + \epsilon)} \]

したがって、任意の \(\epsilon > 0\) に対して、\(N = \frac{\ln 2}{\ln(1 + \epsilon)}\) を選ぶことで、すべての \(n > N\) に対して \(|a_n - 1| < \epsilon\) が成り立つ。