ε-N論法の定義・記号の意味・例題・気持ちについて



1. ε-N論法とは
\[ \forall \epsilon > 0, \exists N > 0, \text{such that} \ n > N \Rightarrow |a_n - \alpha| < \epsilon \]


2. ε-N論法の気持ち
2.1. 記号

- $\forall $・・・「任意の」という意味。つまり、$\forall \epsilon > 0,$とは、任意の正の値εという意味です。
- $\exists$・・・「存在する」という意味。つまり、$\exists N > 0$とは、正の値Nが存在するという意味です。
- $ \text{such that}$・・・「条件を満たすように」という意味。今回の場合は「$\forall \epsilon > 0$と$\exists N > 0$の条件を満たすように」という意味になる。
- $\ n > N \Rightarrow |a_n - \alpha| < \epsilon$・・・$n>N$ならば、$ |a_n - \alpha|< \epsilon$となる。
つまり、「任意の \(\epsilon > 0\) に対して、ある自然数 \(N\) が存在し、すべての \(n > N\) に対して \(|a_n - \alpha| < \epsilon\) が成立するとき、$\displaystyle\lim_{n\leftarrow \infty} a_n=\alpha$となる。」

不等式の部分に着目すると、$|a_n - \alpha| < \epsilon$より、
$$-\epsilon < a_n-\alpha < \epsilon$$
$$\therefore -\epsilon+\alpha < a_n < \epsilon+\alpha$$

3. 例題
3.1. 例題1
\[ a_n = \frac{1}{n} \]
この数列が \(\alpha = 0\) に収束することを ε-N論法を用いて証明しなさい。
まず、\(\{a_n\}\) が \(\alpha = 0\) に収束することを証明するために、ε-N論法を使用します。つまり、次の条件が成り立つことを示します。
\[ \forall \epsilon > 0, \exists N > 0 \text{ such that } n > N \Rightarrow |a_n - 0| < \epsilon \]
まず、\(|a_n - 0|\) を計算します。 \[ |a_n - 0| = \left|\frac{1}{n}\right| = \frac{1}{n} \]
次に、\(\frac{1}{n} < \epsilon\) となる \(n\) を見つけます。これは次のように変形できます。\[ \frac{1}{n} < \epsilon \quad \Rightarrow \quad n > \frac{1}{\epsilon} \]
したがって、\(\epsilon > 0\) に対して、\(N = \frac{1}{\epsilon}\) とすると、\(n > N\) のとき \(\frac{1}{n} < \epsilon\) が成り立ちます。
結論として、 任意の \(\epsilon > 0\) に対して、\(N = \frac{1}{\epsilon}\) とすると、\(n > N\) のとき \(|a_n - 0| = \frac{1}{n} < \epsilon\) となります。
3.2. 例題2
\[ a_n = \sqrt[n]{2} \]
この数列が \(\alpha = 1\) に収束することを、ε-N論法を用いて証明しなさい。
まず、\(\{a_n\} = \sqrt[n]{2} = 2^{\frac{1}{n}}\) が \(\alpha = 1\) に収束するための条件は、次の不等式が成り立つことです。
\[ |a_n - 1| = |2^{\frac{1}{n}} - 1| < \epsilon \]
この不等式を解いて、対応する \(n\) を見つけます。
まず、不等式を次のように変形します。 \[ |2^{\frac{1}{n}} - 1| < \epsilon \]
この不等式は次のように変形できます。 \[ 2^{\frac{1}{n}} - 1 < \epsilon \]
両辺に \(1\) を足して、不等式を次のように変形します。 \[ 2^{\frac{1}{n}} < 1 + \epsilon \]
ここで、両辺の対数を取ります(自然対数)。\[ \frac{1}{n} \ln 2 < \ln(1 + \epsilon) \]
次に、不等式を \(n\) について解きます。 \[ n > \frac{\ln 2}{\ln(1 + \epsilon)} \]
したがって、任意の \(\epsilon > 0\) に対して、\(N = \frac{\ln 2}{\ln(1 + \epsilon)}\) を選ぶことで、すべての \(n > N\) に対して \(|a_n - 1| < \epsilon\) が成り立つ。