σ加法族の意味と性質、証明について

$はるか$

はるか

σ加法族、知ってる？

$ふゅか$

ふゅか

あー、測度論とか確率論で使うやつよね！

$はるか$

はるか

うん、それが定義。3つ、覚えてる？

$ふゅか$

ふゅか

もちろん！空集合を含む、補集合に閉じてる、可算和にも閉じてる！

1. σ加法族
1.1. 定義
2. 性質
2.1. (1) $X \in F$
2.2. (2) $\{A_n\}_{n=1}^\infty \subset F \implies \displaystyle \bigcap_{n=1}^{\infty} A_n \in F$
2.3. (3) $A,B \in F \implies A \setminus B \in F.$
2.4. (4) $\displaystyle F \;=\; \bigcap_{\lambda \in \Lambda} F_\lambda $ も σ-加法族である

1. σ加法族

σ加法族（シグマかほうぞく）とは、数学の分野（特に測度論や確率論）において重要な概念で、日本語では「σ-加法族」「σ-代数」などとも呼ばれます。

1.1. 定義

ある集合 $ X $ に対して、Xの部分集合族$ \mathcal{F} $ がσ加法族であるとは、次の3つをすべて満たす。

$ \emptyset $ が $ \mathcal{F} $ に属する（つまり、$ X \in \mathcal{F} $）。
$ \mathcal{F} $ に属する任意の集合の補集合（相対補集合も含む）が $ \mathcal{F} $ に属する。具体的には、もし $ A \in \mathcal{F} $ ならば $ X \setminus A \in \mathcal{F} $。
$ \mathcal{F} $ に属する任意の集合列 $ A_1, A_2, A_3, \dots $ に対して、 \[ \bigcup_{n=1}^\infty A_n \in \mathcal{F} \]

2. 性質

$F$ を集合 $X$ 上の σ-加法族とするとき，以下が成り立つ。

$X \in F.$
$\{A_n\}\subset F \implies \displaystyle \bigcap_{n=1}^{\infty} A_n \in F.$
$A, B \in F \implies A \setminus B \in F.$
$\{F_\lambda\}{\lambda \in \Lambda}$ を，いずれも $X$ 上の σ-加法族とする。このとき， \[ F \;=\; \bigcap_{\lambda \in \Lambda} F_\lambda \] も $X$ 上の σ-加法族である。

2.1. (1) $X \in F$

これは σ-加法族の定義より、

$$\emptyset \in \mathcal{F} \implies X \in \mathcal{F}$$

となることからわかる。

2.2. (2) $\{A_n\}_{n=1}^\infty \subset F \implies \displaystyle \bigcap_{n=1}^{\infty} A_n \in F$

任意の可算列 $\{A_n\}_{n=1}^\infty$ が $F$ に属するとする（すなわち各 $A_n \in F$）。

各 $A_n \in F$ なので，$X \setminus A_n \in F$。
補集合に対して，$\displaystyle \bigcup_{n=1}^\infty (X \setminus A_n) \in F$。
$\bigcap_{n=1}^\infty A_n=\displaystyle\bigcup_{n=1}^\infty (X \setminus A_n) $

よって，$\{A_n\}_{n=1}^\infty \subset F$ ならば $\displaystyle \bigcap_{n=1}^\infty A_n \in F$ である。

2.3. (3) $A,B \in F \implies A \setminus B \in F.$

$A, B \in F$ とする。すると， \[ A \setminus B \;=\; A \cap (X \setminus B). \]

$B \in F$ なので，補集合 $X \setminus B \in F$。
(2) で示したように，特別な場合と考えれば、

\[ A \cap (X \setminus B) \;\in\; F \] が成り立つ。すなわち $A \setminus B \in F$ となる。

2.4. (4) $\displaystyle F \;=\; \bigcap_{\lambda \in \Lambda} F_\lambda $ も σ-加法族である

ここで $\{F_\lambda\}{\lambda \in \Lambda}$ は，それぞれ $X$ 上の σ-加法族の族である。以下，$F = \displaystyle\bigcap_{\lambda \in \Lambda} F_\lambda$ が σ-加法族であることを示すために，3つを順に確かめる：

全体集合 $X$ を含む
\[ \forall \lambda,\; \emptyset \in F_\lambda \;\;\Longrightarrow\;\; \emptyset \in \bigcap_{\lambda \in \Lambda} F_\lambda. \] よって $X \in F$ が成り立つ。
補集合への閉性
$A \in F = \displaystyle\bigcap_{\lambda \in \Lambda} F_\lambda$ とすると，それは「すべての $\lambda$ で $A \in F_\lambda$」という意味である。各 $F_\lambda$ で補集合に対する閉性があるので，$\forall \lambda,\; X \setminus A \in F_\lambda$。したがって\[ X \setminus A \;\in\; \bigcap_{\lambda \in \Lambda} F_\lambda \;=\; F. \]
$\{A_n\}_{n=1}^\infty \subset F$ を任意にとると，これは「$\forall n,\; A_n \in \bigcap_{\lambda \in \Lambda} F_\lambda$」を意味する。すなわち，$\forall n,\; \forall \lambda,\; A_n \in F_\lambda$。各 $F_\lambda$ では可算合併に対して閉じているので、$\forall \lambda$に対して \[ \bigcup_{n=1}^\infty A_n \;\in\; F_\lambda \] よって，$\displaystyle \bigcup_{n=1}^\infty A_n$ は $\bigcap_{\lambda \in \Lambda} F_\lambda$ の元でもある。すなわち \[ \bigcup_{n=1}^\infty A_n \;\in\; \bigcap_{\lambda \in \Lambda} F_\lambda \;=\; F \]

これら3つの性質が成り立つことから，$\displaystyle F = \bigcap_{\lambda \in \Lambda} F_\lambda$ も $X$ 上の σ-加法族になる。