1/6公式・放物線と直線に囲まれる面積の関係について

1. $\dfrac{1}{6}$公式とは

1/6公式とは、特定の形の定積分において成り立つ計算結果を表した公式です。具体的には、$\alpha$と$\beta$という2つの値の間で、$(x-\alpha)(x-\beta)$という二次式を積分した結果の公式です。

1.1. 対応関係図

$\alpha、\beta$がどこに対応しているのかを図で示します。

1.2. $\dfrac{1}{6}$公式の証明

次に、この1/6公式を計算して証明してみましょう。

\[ \begin{aligned} \int_\alpha^\beta(x-\alpha)(x-\beta)dx &= \int_\alpha^\beta (x-\alpha)(x-\alpha+\alpha-\beta)dx \\ &= \int_\alpha^\beta (x-\alpha)^2 + (\alpha-\beta)(x-\alpha) dx \\ &= \int_\alpha^\beta (x-\alpha)^2 - (\beta-\alpha)(x-\alpha) dx \\ &= \left[ \frac{(x-\alpha)^3}{3} - (\beta-\alpha)\frac{(x-\alpha)^2}{2} \right]_\alpha^\beta \\ &= \frac{(\beta-\alpha)^3}{3} - \frac{(\beta-\alpha)^3}{2} \\ &= -\frac{(\beta-\alpha)^3}{6} \end{aligned} \]

2. 放物線と直線の面積

はるか

それで、この公式が放物線と直線の面積にどう役立つかも説明する。

ふゅか

あ、それなら例えば、$y=ax^2+bx+c$と$y=dx+e$みたいな場合を考えるといいよね！この時、二つの交点$\alpha$と$\beta$があって、そこから$\dfrac{1}{6}$公式を使えば、面積を計算できちゃう☆

次に、放物線と直線で囲まれる面積について考えてみましょう。

放物線と直線が2つの交点を持つ場合、これらの交点を$\alpha,\beta$とします。

• 放物線の式は、$y=ax^2+bx+c$
• 直線の式は、$y=dx+e$

で表されます。このとき、放物線と直線で囲まれる面積は以下のように計算されます。

$[1]$　$a>0$であるとき、

$$\begin{align*} \int^\beta_\alpha dx + e - (ax^2 + bx + c) \, dx &= \int^\beta_\alpha -a(x - \alpha)(x - \beta) \, dx \end{align*}$$

$\dfrac{1}{6}$公式より、

$$=\dfrac{a}{6}(\beta-\alpha)^3$$

$[2]$　$a<0$であるときは、$dx+e-(ax^2+bx+c)$が逆になるため、結果の符号が逆転する。つまり、

$$\dfrac{-a}{6}(\beta-\alpha)^3$$

となる。

3. 放物線と直線の面積の例題

ふゅか

じゃあ実際に例題やってみよう！$y = x^2 - 2x + 1$と$y = x - 1$で囲まれた面積を求める問題だね！

はるか

交点は$x=1$と$x=2$。$\dfrac{1}{6}$公式を使えば、面積は$\dfrac{1}{6}(2-1)^3=\dfrac{1}{6}$。

3.1. 公式を用いる

交点を求めます。

$$\begin{align*} x^2 - 2x + 1 &= x - 1 \\ x^2 - 3x + 2 &= 0 \\ (x - 2)(x - 1) &= 0 \end{align*}$$

これを解くと、$x = 1$または$x = 2$の2つの解が得られます。となるから、$\dfrac{1}{6}$公式より、放物線と直線で囲まれる面積は

$$\dfrac{1}{6}(2-1)^3=\dfrac{1}{6}$$

となる。

3.2. 積分で確認

交点を求めます。

$$\begin{align*} x^2 - 2x + 1 &= x - 1 \\ x^2 - 3x + 2 &= 0 \\ (x - 2)(x - 1) &= 0 \end{align*}$$

これを解くと、$x = 1$または$x = 2$の2つの解が得られます。

$$\begin{align*} \int_1^2 (x - 1) - (x^2 - 2x + 1) \, dx &= \int_1^2 (-x^2 + 3x - 2) \, dx \\ &= -\int_1^2 (x^2 - 3x + 2) \, dx \\ &= -\left[\frac{x^3}{3} - \frac{3x^2}{2} + 2x \right]_1^2 \\ &= -\left( \frac{8}{3} - 6 + 4 - \left\{ \frac{1}{3} - \frac{3}{2} + 2 \right\} \right) \\ &= -\frac{2}{3} + \frac{5}{6} \\ &= \frac{1}{6} \end{align*}$$

よって、$y = x^2 - 2x + 1$と$y = x - 1$で囲まれた面積は$\dfrac{1}{6}$になります。