2行2列（2×2）の逆行列の公式・求め方・例題について
1. 2×2行列の逆行列の公式
行列 \( A = \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix} \) は逆行列が存在するとき、逆行列 \( A^{-1} \) は以下で求められます。
\[ A^{-1} = \frac{1}{ad – bc} \begin{pmatrix} d & -b \\ -c & a \end{pmatrix} \]
これ、元の行列の右下と左上を入れ替えて、斜めの要素の符号を逆にするんだよね！
そう。大事なのは、分母の「\( ad – bc \)」が0じゃないこと。
1.1. 逆行列が存在する条件
2行2列の行列
\[ A = \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix} \]
に対して、次の値が0でなければ逆行列は存在します：
\[ \det(A) = ad – bc \neq 0 \]
この値「$\det(A)$」は行列式と呼ばれます。
2. 単位行列のとの関係
行列 \( A \) とその逆行列 \( A^{-1} \)には次のような関係が成り立ちます。
\[ AA^{-1} = I（単位行列） \]
実際に成り立つか確認してみましょう。$A= \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix}$とします。
\[ AA^{-1} = \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix} \cdot \frac{1}{ad – bc} \begin{pmatrix} d & -b \\ -c & a \end{pmatrix} \]
スカラー（定数）\( \frac{1}{ad – bc} \) は外に出しておきます：
\[ AA^{-1} = \frac{1}{ad – bc} \begin{pmatrix} a d + b(-c) & a(-b) + b a \\ c d + d(-c) & c(-b) + d a \end{pmatrix} \]
項を整理して：
- 左上： \( ad – bc \)
- 右上： \( -ab + ab = 0 \)
- 左下： \( cd – cd = 0 \)
- 右下： \( -cb + da = ad – bc \)
つまり、
\[ AA^{-1} = \frac{1}{ad – bc} \begin{pmatrix} ad – bc & 0 \\ 0 & ad – bc \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} \]
3. 例題：2行2列の逆行列を求めよう
行列 \( A \) が次のように与えられています。
\[ A = \begin{pmatrix} 5 & 2 \\ 3 & 1 \end{pmatrix} \]
この行列の逆行列 \( A^{-1} \) を求めてください。
3.1. ステップ1：行列式（determinant）を計算する
\[ \det(A) = (5)(1) – (2)(3) = 5 – 6 = -1 \]
→ 行列式が 0 ではないので、逆行列は存在します！
3.2. ステップ2：公式にあてはめる
2行2列の逆行列の公式は次の通りです：
\[ A^{-1} = \frac{1}{ad – bc} \begin{pmatrix} d & -b \\ -c & a \end{pmatrix} \]
今回は \( a = 5, b = 2, c = 3, d = 1 \) なので、
\[ A^{-1} = \frac{1}{-1} \begin{pmatrix} 1 & -2 \\ -3 & 5 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -1 & 2 \\ 3 & -5 \end{pmatrix} \]
