アーベル群の意味と性質、具体例について

$はるか$

はるか

アーベル群って、群の中でも特別な場合。交換法則が成り立つのがポイント。

$ふゅか$

ふゅか

あっ、それって例えば「2 + 3 = 3 + 2」みたいなことよね？普通の加法がイメージしやすいかも！

1. アーベル群

群とは、集合 $ G $ と演算 $ * $ 、任意の $ a, b \in G $ に対して

これに加えて、アーベル群では交換法則を満たします。つまり、

$$a*b=b*a$$

$\mathbb{Z}$ は加法について閉じており、単位元は $0$、各整数 $n$ には逆元 $-n$ が存在し、加法は可換なので、これはアーベル群です。

たとえば $\mathbb{Z}_5 = \{0,1,2,3,4\}$ では、演算は「5 で割ったあまり」の加法です。どの元を足しても 5 で割ったあまりの世界で閉じており、単位元は 0、逆元も各元について存在、加法は可換なのでアーベル群を構成します。

$ふゅか$

ふゅか

うんうん！じゃあ、「有限巡回群」ってやつもアーベル群？

$はるか$

はるか

そうだね。たとえば、$mathbb{Z}_5$。5で割ったあまりで足し算する。

$ふゅか$

ふゅか

なるほど！0から4までの数字で「ぐるぐる回る」感覚ね。

$\mathbb{R}^n$ は成分ごとの加法で閉じており、単位元は $(0,0,\dots,0)$、逆元は各成分を符号反転させたベクトルです。ベクトルの加法は可換なので、$\mathbb{R}^n$ はアーベル群になります。