アーベルの不等式の意味と証明について
1. アーベルの不等式
アーベルの不等式は、数列の単調性と部分和の性質を組み合わせたものです。
2つの数列\( \lbrace a_n \rbrace \) と \( \lbrace b_n \rbrace \) に対して、アーベルの不等式は次のように表されます。
\[ \left| \sum_{k=1}^n a_k b_k \right| \leq A \left( |b_1| + 2|b_n| \right) \]
- 数列 \( a_k \) の部分和 \( A_k = a_1 + a_2 + \cdots + a_k \) が存在し、すべての \( k \) において次が成り立つ。
\[ |A_k| \leq A \quad (\text{一定の定数 } A) \] - 数列 \( a_k \) は単調である（増加または減少する）。
1.1. 特殊な場合
\( a_k \) が単調減少かつ非負である場合、不等式をよりシンプルに表すことができます。
\[ \left| \sum_{k=1}^n a_k b_k \right| \leq A b_1 \]
この形は、数列 \( b_n \) の最初の値（最大値）のみに依存していることを表しています。
1.2. アーベルの総和公式
アーベルの不等式はアーベルの総和公式と関連があります。
アーベルの総和公式は以下のように表されます。
\[ \sum_{k=1}^n a_k b_k = A_n b_n – \sum_{k=1}^{n-1} A_k (b_{k+1} – b_k) \]
ここで
- \( a_k \) は与えられた数列。
- \( b_k \) は別の与えられた数列。
- \( A_k = \displaystyle\sum_{i=1}^k a_i \) は数列 \( a_k \) の部分和。
2. アーベルの不等式の証明
2.1. 一般的な不等式の証明
まず、アーベルの総和公式より、
\[ \sum_{k=1}^n a_k b_k = A_n b_n + \sum_{k=1}^{n-1} A_k (b_k – b_{k+1}) \]
絶対値を適用すると、三角不等式より次が成り立ちます
\[\begin{align*} \left| \sum_{k=1}^n a_k b_k \right| &\leq |A_n b_n| + \left| \sum_{k=1}^{n-1} A_k (b_k – b_{k+1}) \right| \\ &\leq |A_n ||b_n|+ \sum_{k=1}^{n-1} |A_k|| (b_k – b_{k+1}) | \\ \end{align*}\]
条件 \( |A_k| \leq A \) を用いると、次が成り立ちます
\[ \left| \sum_{k=1}^n a_k b_k \right| \leq A | b_n| + A \sum_{k=1}^{n-1}| (b_k – b_{k+1}) | \]
ここで、$\displaystyle\sum_{k=1}^{n-1}| (b_k – b_{k+1}) |$について単調性の性質を利用して絶対値を外して計算します。
単調増加の場合、すべての $k$ に対して $b_k \leq b_{k+1}$ です。このとき、各差分 $b_k – b_{k+1}$ は以下のようになります。
\[ b_k – b_{k+1} \leq 0 \]
つまり、すべての差分が非正となるため、式全体は次のように絶対値を外せます。
\[ \sum_{k=1}^{n-1} | (b_k – b_{k+1}) |= – \sum_{k=1}^{n-1} (b_k – b_{k+1}) \]
差分のシグマを計算すると、
\[\begin{align*} – \sum_{k=1}^{n-1} (b_k – b_{k+1})&= \sum_{k=1}^{n-1} ( b_{k+1}-b_k) \\ & = b_2-b_1+b_3-b_2+\cdots + b_n-b_{n-1} \\ & = b_n – b_1\\ &\leq |b_1|+|b_n| \end{align*}\]
一方で、単調減少の場合は、すべての $k$ に対して $b_k \geq b_{k+1}$ です。このとき、各差分 $b_k – b_{k+1}$ は以下のようになります。
\[b_k – b_{k+1} \geq 0\]
つまり、すべての差分が非負となるため、式全体は次のように絶対値を外せます。
\[ \sum_{k=1}^{n-1} | (b_k – b_{k+1}) |= \sum_{k=1}^{n-1} (b_k – b_{k+1}) \]
展開すると、
\[\begin{align*} \sum_{k=1}^{n-1} (b_k – b_{k+1})&= b_1-b_2+b_2-b_3+\cdots + b_{n-1}-b_{n} \\ & = b_1-b_n \\ &\leq |b_1|+|b_n| \end{align*}\]
単調増加、単調減少のいずれかでも、次の性質が成り立つことがわかりました。
\[ \sum_{k=1}^{n-1} |b_k – b_{k+1}| \leq |b_1| + |b_n|\]
したがって、
\[ \sum_{k=1}^{n-1}\left| A_k (b_k – b_{k+1}) \right| \leq A (|b_1| + |b_n|) \]
以上の結果を踏まえると、
\[ \left| \sum_{k=1}^n a_k b_k \right| \leq A |b_n| + A (|b_1| + |b_n|) \]
したがって、次の形に書き直せます。
\[ \left| \sum_{k=1}^n a_k b_k \right| \leq A\left( |b_1| + 2|b_n| \right) \]
よって、不等式が成立することが示されました。
2.2. 特殊な場合の証明
まず、数列 \(a_k\) を部分和 \(A_k\) を使って次のように表します。
\[
a_k= A_k – A_{k-1}, \quad (A_k = 0).
\]
これを用いると、和 \(\displaystyle\sum_{k=1}^n a_k b_k\) は次のように展開されます。
\[ \sum_{k=1}^n a_k b_k= A_1 b_1 + (A_2 – A_1)b_2 + \dots + (A_n – A_{n-1})b_n \]
整理すると
\[ \sum_{k=1}^m a_k b_k= A_1(b_1 – b_2) + A_2(b_2 – b_3) + \dots + A_{n-1}(b_{n-1} – b_n) + A_n b_n \]
ここで、絶対値を取り、三角不等式を適用します
\[ \left| \sum_{k=1}^m a_k b_k \right| \leq |A_1(b_1 – b_2)| + |A_2(b_2 – b_3)| + \dots + |A_{n-1}(b_{n-1} – b_n)| + |A_n b_n| \]
さらに、数列 \(b_k\) が単調減少かつ非負であるので、差分 \(b_k- b_{k+1}\)、$b_n$ も非負です。この条件を用いると、すべての項が以下のように評価できます。
\[ |A_i(b_k – b_{k+1})| \leq A_k (b_k- b_{k+1}) \]
ここで 、\(A_k \leq A\) であることより、
\[ \left| \sum_{i=1}^m a_i b_i \right| \leq A\lbrace (b_1 – b_2) + (b_2 – b_3) + \dots + (b_{n-1} – b_n) + b_n \rbrace \]
括弧内の項を整理すると、
\[ (b_1 – b_2) + (b_2 – b_3) + \dots + (b_{n-1} – b_n) + b_n = b_1 \]
これを代入すると
\[ \left| \sum_{i=1}^m a_i b_i \right| \leq A b_1 \]
