Abi-Khuzam（Flanders）の不等式の意味と証明について

1. Abi-Khuzamの不等式とは？

1.1. Abi-Khuzamの不等式

Abi-Khuzamの不等式はFlandersの不等式とも呼ばれます。

1.2. 等号が成立する場合

正三角形の場合、各内角が \(\frac{\pi}{3}\) であり、以下のように計算できます。

\[ \sin A = \sin B = \sin C = \sin \frac{\pi}{3} = \frac{\sqrt{3}}{2} \]

また、分母 \(A B C\) は次のようになります。

\[ A B C = \left(\frac{\pi}{3}\right)^3 = \frac{\pi^3}{27} \]

したがって、左辺は次のように計算されます。

\[ \frac{\sin A \cdot \sin B \cdot \sin C}{A B C} = \frac{\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right)^3}{\frac{\pi^3}{27}} = \frac{\frac{3\sqrt{3}}{8}}{\frac{\pi^3}{27}} = \frac{27 \cdot 3\sqrt{3}}{8 \pi^3} = \left(\frac{3\sqrt{3}}{2\pi}\right)^3 \]

この値は不等式の右辺と一致します。

2. ラグランジュの未定乗数法

そもそも、三角形であるので、$A+B+C=\pi$という制約条件があります。したがって、多変数関数と見立てて、等式制約のときのラグランジュの未定乗数法を利用して証明します。

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三角形ABCにおいて、$A+B+C=\pi$、$0<A,B,C<\pi$とする。

最大化する関数: \[ f(A, B, C) = \frac{\sin A \cdot \sin B \cdot \sin C}{A B C} \]

制約条件: \[ g(A, B, C) = A + B + C – \pi = 0 \]

関数: \[ \mathcal{L}(A, B, C, \lambda) = \frac{\sin A \cdot \sin B \cdot \sin C}{A B C} – \lambda (A + B + C – \pi) \]

ラグランジュの未定乗数法では、以下の条件を用います。

\[ \frac{\partial \mathcal{L}}{\partial A} = 0, \quad \frac{\partial \mathcal{L}}{\partial B} = 0, \quad \frac{\partial \mathcal{L}}{\partial C} = 0, \quad \frac{\partial \mathcal{L}}{\partial \lambda} = 0 \]

\(A\) で偏微分します。 \[ \mathcal{L} = \frac{\sin A \cdot \sin B \cdot \sin C}{A B C} – \lambda (A + B + C – \pi) \]

\(\frac{\partial}{\partial A}\) を計算すると、

\[\frac{\partial \mathcal{L}}{\partial A} = \frac{\partial}{\partial A} \left( \frac{\sin A \cdot \sin B \cdot \sin C}{A B C} \right) – \lambda \]

商の微分より、

\[ \begin{align*} \frac{\partial}{\partial A} \left( \frac{\sin A \cdot \sin B \cdot \sin C}{A B C} \right) &= \frac{\cos A \cdot \sin B \cdot \sin C \cdot (A B C) – \sin A \cdot \sin B \cdot \sin C \cdot (B C)}{(A B C)^2} \\ &= \frac{A B C \cos A  \sin B \sin C  – BC\sin A  \sin B \sin C }{(A B C)^2} \end{align*}\]

同様に、対称式であることに注目して\(B\) についても計算します。

\[ \frac{\partial \mathcal{L}}{\partial B} =\frac{A B C \sin A  \cos B \sin C  – AC\sin A  \sin B \sin C }{(A B C)^2} – \lambda \]

ラグランジュの未定乗数法の条件より、以下が成り立ちます。

\[ \frac{\partial \mathcal{L}}{\partial A} = \frac{\partial \mathcal{L}}{\partial B} \]

条件を代入すると、次の式が得られます。

\[\begin{align*}\frac{A B C \cos A  \sin B \sin C  – BC\sin A  \sin B \sin C }{(A B C)^2} & =\frac{A B C \sin A  \cos B \sin C  – AC\sin A  \sin B \sin C }{(A B C)^2} \\ A B C \cos A  \sin B \sin C  – BC\sin A  \sin B \sin C & =A B C \sin A  \cos B \sin C  – AC\sin A  \sin B \sin C \\ B C\sin B \sin C(A  \cos A    – \sin A  ) & =A  C \sin A \sin C ( B \cos B   –   \sin B ) \\ \frac{(A  \cos A    – \sin A  )}{A  \sin A } & =\frac{ ( B \cos B   –   \sin B )}{B\sin B } \end{align*}\]

ここで \(\cot A = \frac{\cos A}{\sin A}\) を導入すると、次のように変形できます。

\[ \cot A – \frac{1}{A} = \cot B – \frac{1}{B} \]

この結果は \(A, B, C\) の対称性を考えると次のようになります。 \[ \cot A – \frac{1}{A} = \cot B – \frac{1}{B} = \cot C – \frac{1}{C} \]

ここで関数 \(g(x) = \cot x – \frac{1}{x}\) を考えます。この関数の導関数を計算すると、

\[ g'(x) = -\csc^2 x – \frac{1}{x^2} < 0 \]

したがって、\(g(x)\) は単調減少関数です。

単調減少性より、次が成り立ちます。

\[ A=B=C \]

また、制約条件 \(A + B + C = \pi\) より、\(A = B = C = \frac{\pi}{3}\) が導かれます。

等号成立条件は次の通りです。

\[ A = B = C = \frac{\pi}{3} \]

このとき、$\left(\frac{3\sqrt{3}}{2\pi}\right)^3$が最小値または最大値となることがわかる。

ここで、$A=\frac{\pi}{4}$、$B=\frac{\pi}{4}$、$C=\frac{\pi}{2}$を関数$f(A,B,C)$代入すると、

\[  f \left(\frac{\pi}{4}, \frac{\pi}{4}, \frac{\pi}{2} \right) = \frac{\left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right) \cdot \left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right) \cdot 1}{\frac{\pi^3}{32}} =\frac{16}{\pi^3}=\frac{2^7}{2^3\pi^3} =\left( \frac{4\sqrt[3]{2}}{2\pi} \right)^3\]

$A = B = C = \frac{\pi}{3}$のときの、$\left(\frac{3\sqrt{3}}{2\pi}\right)^3$と大小比較すると

$$f \left(\frac{\pi}{4}, \frac{\pi}{4}, \frac{\pi}{2} \right)<f\left(\frac{\pi}{3},\frac{\pi}{3},\frac{\pi}{3} \right)$$

となる。したがって、$ A = B = C = \frac{\pi}{3} $のときに最大値になるので、

\[ \frac{\sin A \cdot \sin B \cdot \sin C}{A B  C} \leq \left( \frac{3\sqrt{3}}{2\pi} \right)^3\]

3. Jensenの不等式を利用した証明

次に、Jensenの不等式を利用して証明してみましょう。

ただ、$\frac{\sin x}{x}$を扱いやすくするために、対数をとって凸関数にばらすという工夫が必要です。

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対数をとると、

\[ \log \left( \frac{\sin A \cdot \sin B \cdot \sin C}{A \cdot B \cdot C} \right) = \log \frac{\sin A}{A}+\log \frac{\sin B}{B}+\log \frac{\sin C}{C}\]

ここで、\(0 < x < \pi\) の範囲で次のような関数を定義します。

\[ f(x) = \log \frac{\sin x}{x}\]

関数 \(f(x)\) を調べることで、不等式を証明します。

関数 \(f(x) = \log \sin x – \log x\) を微分すると

\[ f'(x) = \frac{\cos x}{\sin x} – \frac{1}{x} = \cot x – \frac{1}{x}\]

さらに微分して二階微分を求めます

\[ f”(x) =\frac{1}{x^2} -\frac{1}{\sin^2 x} \]

ここで、0 < \(x < \pi\) の範囲で、\(\sin^2 x < x^2\) が成立しているので、$\frac{1}{\sin^2 x } >\frac{1}{x^2}$より、

\[ f”(x) =\frac{1}{x^2} -\frac{1}{\sin^2 x}<0 \]

したがって、関数 \(f(x)\) は \(0 < x < \pi\) の範囲で上に凸であることがわかります。

関数 \(f(x)\) に対して、イェンゼンの不等式を適用できるので、凸関数 \(f(x)\) について、次が成り立ちます： \[ f(A) + f(B) + f(C) \leq 3 f\left(\frac{A + B + C}{3}\right)\]

三角形の内角の制約 \(A + B + C = \pi\) を用いると

\[ \frac{A + B + C}{3} = \frac{\pi}{3}\]

したがって

\[ f(A) + f(B) + f(C) \leq 3 f\left(\frac{\pi}{3}\right)\]

\(\sin \frac{\pi}{3} = \frac{\sqrt{3}}{2}\) であるため

\[ f\left(\frac{\pi}{3}\right) = \log \frac{\sin \frac{\pi}{3}}{\frac{\pi}{3}} = \log \frac{\frac{\sqrt{3}}{2}}{\frac{\pi}{3}} = \log \left( \frac{3\sqrt{3}}{2\pi} \right)\]

これをイェンゼンの不等式に代入すると

\[ f(A) + f(B) + f(C) \leq 3 \log \left( \frac{3\sqrt{3}}{2\pi} \right)\]

したがって、

\[ \frac{\sin A \cdot \sin B \cdot \sin C}{A \cdot B \cdot C} \leq \left( \frac{3\sqrt{3}}{2\pi} \right)^3\]