角周波数の意味と単位について

はるか

角周波数って知ってる？

ふゅか

うん！ギリシャ文字の「ω（オメガ）」で表されるもので、周波数を$2\pi$倍したものよね！

1. 角周波数とは？

ここで：

• \( \omega \) は角周波数（単位はラジアン毎秒 [rad/s]）。
• \( f \) は周波数（単位はヘルツ [Hz]、1秒間に繰り返す回数）。
• \( 2\pi \) は1周期分の角度をラジアンで表した値（円の周囲の長さに対応します）。

1.1. 角周波数の単位

角周波数の単位が[rad/s]になるのかを実際に確認します。

1. 周波数 \(f\): 周波数は「1秒間あたりのにどれだけ繰り返すのかを表した単位」であり、 \([1/s]\) です。\[ [f] = [1/s] \]
2. 係数 \(2\pi\): \(2\pi\) はラジアン（[rad]）として扱われます。\[ [2\pi] = [rad] \]
3. 角周波数 \(\omega\): 角周波数の単位は\[ [\omega] = [2\pi] \cdot [f] = [rad] \cdot [1/s] \]

ふゅか

ところで、角周波数の単位ってなんで [rad/s] になるんだろう？

はるか

計算すればわかる。周波数の単位は [1/s]。$2\pi$は [rad]。掛け算すれば [rad/s]。

2. 角周波数と周波数の関係

角周波数と周波数は密接に関係しています。例えば、周波数 \( f \) が1Hz（1秒間に1回振動）であれば、角周波数 \( \omega \) は次のように計算されます：

\[ \omega = 2\pi \times 1 = 2\pi \, \text{[rad/s]} \]

つまり、1秒間に1周期（360度）を繰り返す現象では、角度としては約6.28ラジアン進むことになります。

3. 角周波数が使われる場面

角周波数は、特に以下の分野で広く用いられます。

3.1. 振動や波動

弦楽器の振動、電磁波、音波などの性質を記述する際に、角周波数が用いられます。これにより波の速さやエネルギーが簡潔に表現されます。

3.2. 電気回路

交流回路（AC回路）では、電圧や電流の振動を角周波数で表します。例えば、日本の家庭用電源（50Hzまたは60Hz）の場合、角周波数は次のようになります：

• 50Hzの場合：\( \omega = 2\pi \times 50 \approx 314 \, \text{[rad/s]} \)
• 60Hzの場合：\( \omega = 2\pi \times 60 \approx 377 \, \text{[rad/s]} \)

4. 角周波数の直感的理解

角周波数は「回転」と結びつけて考えると理解しやすいです。たとえば、時計の秒針が1周するのに1分（60秒）かかる場合、その秒針の角周波数は次のようになります：

\[ \omega = \frac{2\pi}{60} \approx 0.105 \, \text{[rad/s]} \]

これは、秒針が1秒あたり約0.105ラジアン進むことを意味します。