等差数列の総乗の公式の証明と計算について
1. 等差数列の積の性質
1.1. 具体例
まず、漸化式 \( a_n = a_{n-1} + 1 \) と \( a_0 = 3 \) を使って、$P_4$の値を求めてみます。
1.1.1. 地道にすべての項を求めて計算する方法
漸化式から\( a_0 \) から \( a_4 \) の値を求めます。
\[ \begin{align*} a_0 &= 3 \\ a_1 &= a_0 + 1 = 4 \\ a_2 &= a_1 + 1 = 5 \\ a_3 &= a_2 + 1 = 6 \\ a_4 &= a_3 + 1 = 7 \end{align*} \]
次に、これらの値を掛け合わせます。
\[ a_0 \times a_1 \times a_2 \times a_3 \times a_4 = 3 \times 4 \times 5 \times 6 \times 7 \]
では、この掛け算を計算します。
\[ \begin{align*} 3 \times 4 &= 12 \\ 12 \times 5 &= 60 \\ 60 \times 6 &= 360 \\ 360 \times 7 &= 2520 \\ \end{align*} \]
したがって、\( a_0 \) から \( a_4 \) の掛け算$P_4$の計算結果は \( 2520 \) です。
1.1.2. 公式を使って計算する方法
公式を利用すると、\( P_4 \) は次のようになります。
\[ P_4 = 1^{5} \cdot \frac{\Gamma \left( 3 + 5 \right)}{\Gamma \left( 3 \right)} = \frac{\Gamma(8)}{\Gamma(3)} \]
ガンマ関数の性質$\Gamma(n) = (n-1)!$より、
\[ \begin{align*} \Gamma(8) &= 7! = 5040 \\ \Gamma(3) &= 2! = 2 \end{align*} \]
これを代入すると、
\[ P_4 = \frac{5040}{2} = 2520 \]
以上より、地道に計算しても、公式から計算しても、計算結果が一致することがわかりました。
2. 証明
等差数列の初項を \( a_0 \) とし、公差を \( d \) とする場合、その総乗 \( P_n \) は
\[ P_n =\prod_{i=0}^n a_i = a_0 \cdot a_1 \cdot \dotsb \cdot a_n \]
ここで、各項は等差数列$a_n=a+nd$であるから、
\[ P_n = a_0 \cdot (a_0 + d) \cdot (a_0 + 2d) \cdot \dotsb \cdot (a_0 + nd) \]
この総乗を \( d \) で括ると、
\[\begin{align*} P_n &= d \cdot \frac{a_0}{d} \cdot d \left( \frac{a_0}{d} + 1 \right) \cdot \dotsb \cdot d \left( \frac{a_0}{d} + n \right) \\ &= d^{n+1}\frac{a_0}{d} \left( \frac{a_0}{d} + 1 \right) \cdot \dotsb \cdot \left( \frac{a_0}{d} + n \right) \end{align*}\]
すると、すべての項が \( d^{n+1} \) を含むため、次のように書き換えられます。
\[ P_n = d^{n+1} \left( \frac{a_0}{d} \right)^{\overline{n+1}} \]
ここで、\( \left( \frac{a_0}{d} \right)^{\overline{n+1}} \) は「上昇階乗冪」を意味し、次の形です。
\[ \left( \frac{a_0}{d} \right)^{\overline{n+1}} = \frac{a_0}{d} \left( \frac{a_0}{d} + 1 \right) \cdot \dotsb \cdot \left( \frac{a_0}{d} + n \right) \]
上昇階乗冪はガンマ関数を使って表すことができるので、
\[ P_n = d^{n+1} \cdot \frac{\Gamma \left( \frac{a_0}{d} + n + 1 \right)}{\Gamma \left( \frac{a_0}{d} \right)} \]
ここで、ガンマ関数 \( \Gamma(x) \) は階乗を一般化した関数で、自然数 \( n \) に対しては \( \Gamma(n) = (n-1)! \) です。
