アステロイドの面積、弧長、回転体の体積、アニメーションについて

1. アステロイドとは

1.1. アステロイドのアニメーション

アステロイド自体は、円に内接する点が円周上を滑らかに動くことで生成される曲線です。ハイポサイクロイドの一種です。定円と回転する円の半径の比が4:1になります。これをアニメーションにすると、次のようになります。

2. アステロイドの性質

2.1. 陰曲線

\( x^{\frac{2}{3}} \) の計算を行います。

\[ \begin{align*} x^{\frac{2}{3}} &= \left( a \cos^3 \theta \right)^{\frac{2}{3}} \\ &= a^{\frac{2}{3}} \left( \cos^3 \theta \right)^{\frac{2}{3}} \\ &= a^{\frac{2}{3}} \cos^2 \theta \end{align*} \]

 \( y^{\frac{2}{3}} \) の計算を行います。

\[ \begin{align*} y^{\frac{2}{3}} &= \left( a \sin^3 \theta \right)^{\frac{2}{3}} \\ &= a^{\frac{2}{3}} \left( \sin^3 \theta \right)^{\frac{2}{3}} \\ &= a^{\frac{2}{3}} \sin^2 \theta \end{align*} \]

$x^{\frac{2}{3}}+y^{\frac{2}{3}}$を計算すると次のようになる。

\[ \begin{align*} x^{\frac{2}{3}} + y^{\frac{2}{3}} &= a^{\frac{2}{3}} \cos^2 \theta + a^{\frac{2}{3}} \sin^2 \theta \\ &= a^{\frac{2}{3}} (\cos^2 \theta + \sin^2 \theta) \\ &= a^{\frac{2}{3}} \times 1 \\ &= a^{\frac{2}{3}} \end{align*} \]

以上より、媒介変数表示から次の関係式が成り立つことが示されました。

\[ x^{\frac{2}{3}} + y^{\frac{2}{3}} = a^{\frac{2}{3}} \]

2.2. 面積

面積 \( A \)をガウスグリーンの定理を使って求めます。

\[ A = \frac{1}{2} \int_{\theta_1}^{\theta_2} \left( x \frac{dy}{d\theta} – y \frac{dx}{d\theta} \right) d\theta \]

まず、$\theta$ でxとyの微分を計算します。

\[ \frac{dx}{d\theta} = a \left( -3 \sin \theta + 3 \sin(3 \theta) \right) \]

\[ \frac{dy}{d\theta} = a \left( 3 \cos \theta – 3 \cos(3 \theta) \right) \]

したがって、面積Aは次のようになります。

\[ \begin{align*} x \frac{dy}{d\theta} – y \frac{dx}{d\theta} &= [a \cos^3 \theta] \cdot [3a \sin^2 \theta \cos \theta \, d\theta] – [a \sin^3 \theta] \cdot [-3a \cos^2 \theta \sin \theta \, d\theta] \\ &= 3a^2 \cos^4 \theta \sin^2 \theta \, d\theta + 3a^2 \sin^4 \theta \cos^2 \theta \, d\theta \\ &= 3a^2 \cos^2 \theta \sin^2 \theta (\cos^2 \theta + \sin^2 \theta) \, d\theta \\ &= 3a^2 \cos^2 \theta \sin^2 \theta \, d\theta \quad (\because \cos^2 \theta + \sin^2 \theta = 1) \end{align*} \]

したがって、面積 \(A\) は、

\[ \begin{align*} A &= \frac{1}{2} \int_0^{2\pi} 3a^2 \cos^2 \theta \sin^2 \theta \, d\theta \\ &= \frac{3a^2}{2} \int_0^{2\pi} \cos^2 \theta \sin^2 \theta \, d\theta \\ &= \frac{3a^2}{2} \int_0^{2\pi} \left( \frac{\sin 2\theta}{2} \right)^2 d\theta \quad (\because \cos^2 \theta \sin^2 \theta = \left( \frac{\sin 2\theta}{2} \right)^2) \\ &= \frac{3a^2}{2} \int_0^{2\pi} \frac{\sin^2 2\theta}{4} \, d\theta \\ &= \frac{3a^2}{8} \int_0^{2\pi} \sin^2 2\theta \, d\theta \\ &= \frac{3a^2}{8} \int_0^{2\pi} \frac{1 – \cos 4\theta}{2} \, d\theta \quad (\because \sin^2 x = \frac{1 – \cos 2x}{2}) \\ &= \frac{3a^2}{16} \int_0^{2\pi} (1 – \cos 4\theta) \, d\theta \\ &= \frac{3a^2}{16} \left[ \theta – \frac{\sin 4\theta}{4} \right]_0^{2\pi} \\ &= \frac{3a^2}{16} \left( 2\pi – 0 \right) \\ &= \frac{3\pi a^2}{8} \end{align*} \]

2.3. 弧長

アステロイド曲線の弧長 \(L\) は次の式で求められます。

\[ L = \int_{0}^{2\pi} \sqrt{\left( \frac{dx}{d\theta} \right)^2 + \left( \frac{dy}{d\theta} \right)^2} \, d\theta \]

先ほどの微分結果を使います。

\[ \left( \frac{dx}{d\theta} \right)^2 = 9a^2 \cos^4 \theta \sin^2 \theta \]

\[ \left( \frac{dy}{d\theta} \right)^2 = 9a^2 \sin^4 \theta \cos^2 \theta \]

これらを合計すると。

\[ \begin{align*} \left( \frac{dx}{d\theta} \right)^2 + \left( \frac{dy}{d\theta} \right)^2 &= 9a^2 \cos^2 \theta \sin^2 \theta (\cos^2 \theta + \sin^2 \theta) \\ &= 9a^2 \cos^2 \theta \sin^2 \theta \quad (\because \cos^2 \theta + \sin^2 \theta = 1) \end{align*} \]

したがって、

\[ L = \int_0^{2\pi} 3a \left| \cos \theta \sin \theta \right| \, d\theta \]

アステロイドは対称性があるため、\(\theta = 0\) から \(\theta = \frac{\pi}{2}\) までの弧長を4倍すれば全体の弧長が求まります。

\[ \begin{align*} L &= 4 \int_0^{\frac{\pi}{2}} 3a \cos \theta \sin \theta \, d\theta \\ &= 12a \int_0^{\frac{\pi}{2}} \cos \theta \sin \theta \, d\theta \\ &= 12a \int_0^{\frac{\pi}{2}} \frac{\sin 2\theta}{2} \, d\theta \quad (\because \sin 2\theta = 2 \sin \theta \cos \theta) \\ &= 6a \left[ -\frac{\cos 2\theta}{2} \right]_0^{\frac{\pi}{2}} \\ &= 6a \left( -\frac{\cos \pi}{2} + \frac{\cos 0}{2} \right) \\ &= 6a \left( -\frac{(-1)}{2} + \frac{1}{2} \right) \\ &= 6a \left( \frac{1}{2} + \frac{1}{2} \right) \\ &= 6a \cdot 1 \\ &= 6a \end{align*} \]

2.4. 回転体の体積

アステロイドを x 軸の周りに回転させたときの回転体の体積 \(V\) は、次の積分で求めます。

回転体の体積 \( V \) は、回転軸が \( x \) 軸の場合、以下の式で計算できます。

\[ V = \pi \int y^2 \, dx \]

媒介変数表示を利用して、この式をパラメータ \( \theta \) の積分に変換します。

\[ V = \pi \int y^2 \frac{dx}{d\theta} \, d\theta \]

まず、\( y^2 \) と \( \frac{dx}{d\theta} \) を計算します。

\( y^2 \) の計算をすると次のようになる。

\[ y = a \sin^3 \theta \]

\[ y^2 = a^2 \sin^6 \theta \]

\( \frac{dx}{d\theta} \) の計算をすると次のようになる。

\[ \frac{dx}{d\theta} = -3a \cos^2 \theta \sin \theta \]

体積の式は次のようになります。

\[ V = \pi \int_{0}^{2\pi}y^2 \frac{dx}{d\theta} \, d\theta \]

アステロイドの対称性より、積分範囲を \( 0 \) から \( \frac{\pi}{2} \) に設定し、結果を 2 倍します。積分式に代入すると次のようになります。

\[ V = 2\pi \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \left( a^2 \sin^6 \theta \right) \left( 3a \cos^2 \theta \sin \theta \right) d\theta \]

\[ V = 6\pi a^3 \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \sin^7 \theta \cos^2 \theta \, d\theta \]

係数を考えない積分Iを次のようにします。

\[ I = \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \sin^7 \theta \cos^2 \theta \, d\theta \]

\(\cos^2 \theta\) を \(1 – \sin^2 \theta\) に置き換えて積分を簡略化します。

\[ I = \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \sin^7 \theta (1 – \sin^2 \theta) \, d\theta = \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \sin^7 \theta \, d\theta – \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \sin^9 \theta \, d\theta \]

これらの積分は、ベータ関数、ガンマ関数を使って評価できますが、ここでは積分の漸化式を利用します。

積分の漸化式：

\[ \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \sin^n \theta \, d\theta = \frac{n – 1}{n} \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \sin^{n – 2} \theta \, d\theta \]

(a) \( \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \sin^7 \theta \, d\theta \) の計算：

\[ \begin{align*} \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \sin^7 \theta \, d\theta &= \frac{6}{7} \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \sin^5 \theta \, d\theta \\ &= \frac{6}{7} \cdot \frac{4}{5} \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \sin^3 \theta \, d\theta \\ &= \frac{6}{7} \cdot \frac{4}{5} \cdot \frac{2}{3} \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \sin \theta \, d\theta \\ &= \frac{6}{7} \cdot \frac{4}{5} \cdot \frac{2}{3} \cdot 1 \\ &= \frac{48}{105} \end{align*} \]

(b) \( \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \sin^9 \theta \, d\theta \) の計算：

\[ \begin{align*} \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \sin^9 \theta \, d\theta &= \frac{8}{9} \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \sin^7 \theta \, d\theta \\ &= \frac{8}{9} \cdot \frac{48}{105} \\ &= \frac{384}{945} \\ &= \frac{128}{315} \end{align*} \]

(c) \( I \) の計算：

\[ I = \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \sin^7 \theta \cos^2 \theta \, d\theta = \frac{48}{105} – \frac{128}{315} = \frac{144}{315} – \frac{128}{315} = \frac{16}{315} \]

したがって、以上より体積$V$は次のようになります。

\[ V = 6\pi a^3 \times \frac{16}{315} = \frac{96\pi a^3}{315} = \frac{32\pi a^3}{105} \]