更新:2025/02/05

自己共分散と自己相関の意味と性質について

1. 自己共分散 (Autocovariance)

自己共分散は、時系列データの異なる時点間でのデータの偏差同士の共分散を測る指標です。数学的には、時系列 Xt X_t の時点 t t t+k t+k の自己共分散は次のように定義されます。

Cov(Xt,Xt+k)=E[(Xtμ)(Xt+kμ)] \text{Cov}(X_t, X_{t+k}) = \mathbb{E}[(X_t - \mu)(X_{t+k} - \mu)]

ここで:

  • Xt X_t は時系列データの時点 t t の値。
  • μ \mu は時系列データの平均。
  • k k はラグ(時間のずれ)を表す。
はるか
はるか
自己共分散って何?
ふゅか
ふゅか
自己共分散は、時系列データの異なる時点での関係を測る指標よ!

2. 自己相関 (Autocorrelation)

自己相関は、自己共分散を標準化してスケールの影響を取り除いた指標です。これにより、時系列データの自己関係性をスケールに依存しない形で評価できます。時系列 Xt X_t の自己相関係数(ラグ k k )は次のように計算されます。

ρk=Cov(Xt,Xt+k)σ2 \rho_k = \frac{\text{Cov}(X_t, X_{t+k})}{\sigma^2}

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