自己共分散と自己相関の意味と性質について

自己共分散は、時系列データの異なる時点間でのデータの偏差同士の共分散を測る指標です。数学的には、時系列 $X_t$ の時点 $t$ と $t+k$ の自己共分散は次のように定義されます。

$$\text{Cov}(X_t, X_{t+k}) = \mathbb{E}[(X_t - \mu)(X_{t+k} - \mu)]$$

自己相関は、自己共分散を標準化してスケールの影響を取り除いた指標です。これにより、時系列データの自己関係性をスケールに依存しない形で評価できます。時系列 $X_t$ の自己相関係数（ラグ $k$ ）は次のように計算されます。

$$\rho_k = \frac{\text{Cov}(X_t, X_{t+k})}{\sigma^2}$$