バーゼル問題とフーリエ級数展開の関係！π^2/6 への旅

1. バーセル問題とは

はるか

バーセル問題は、無限級数の和。

2. フーリエ級数展開の利用

ふゅか

次はフーリエ級数展開を使ってこの結果を確認してみましょう！まず、関数
$f(x)=x^2 $を考えるわ。

はるか

うん、その関数のフーリエ級数展開を考えるんだね。区間は$ [−π,π]$ だよ。

まず、次の関数を考えます。

\[ f(x) = x^2 \]

この関数のフーリエ級数展開を考えます。ただし、区間 \([-π, π]\) で定義されているとします。

このフーリエ級数展開は、次の計算を用いて得られます。

2.1. フーリエ係数

フーリエ係数 \(a_0\) を求めます。

\[ a_0 = \frac{1}{2\pi} \int_{-\pi}^{\pi} x^2 \, dx \]

偶関数より、

\[ a_0 = \frac{1}{\pi} \int_{0}^{\pi} x^2 \, dx = \frac{1}{\pi} \left[ \frac{x^3}{3} \right]_0^{\pi} = \frac{\pi^2}{3} \]

2. フーリエ係数 \(a_n\) を求めます。

\[ a_n = \frac{1}{\pi} \int_{-\pi}^{\pi} x^2 \cos(nx) \, dx \]

偶関数であることより、

\[ a_n = \frac{2}{\pi} \int_{0}^{\pi} x^2 \cos(nx) \, dx \]

部分積分を使って計算します。

$$ \int_{0}^{\pi} x^2 \cos(nx) \, dx = \left[ x^2 \frac{\sin(nx)}{n}\right]_0^{\pi} - \int_{0}^{\pi} 2x \frac{\sin(nx)}{n} \, dx $$

$$=- \int_{0}^{\pi} 2x \frac{\sin(nx)}{n} \, dx$$

$$=- \left[ 2x \frac{-\cos(nx)}{n^2}\right]_0^{\pi} + \int_{0}^{\pi} -2 \frac{\cos(nx)}{n^2} \, dx$$

$$=\frac{2\pi(-1)^{n}}{n^2} $$

したがって、$a_n$は次のようになります。

\[ a_n = \frac{2}{\pi} \frac{2\pi (-1)^n}{n^2} =\frac{4 (-1)^n}{n^2} \]

次に$b_n$を求めます。$x^2 \sin nx$　は奇関数であるため、$b_n=0$となる。

したがって、フーリエ級数展開は次のようになります。

\[ f(x) = \frac{\pi^2}{3} + \sum_{n=1}^{\infty} (-1)^{n} \frac{4}{n^2} \cos(nx) \]

次に、$x = \pi $のときのフーリエ級数を考えます。$\cos n\pi=(-1)^n$より、

\[ \pi ^2 = \frac{\pi^2}{3} + \sum_{n=1}^{\infty} (-1)^{n} \frac{4}{n^2} \cos(n\pi) = \frac{\pi^2}{3} + \sum_{n=1}^{\infty} (-1)^{2n} \frac{4}{n^2} \]

両辺を移項して整理します。

\[ \sum_{n=1}^{\infty} \frac{4 (-1)^{2n} }{n^2} = \frac{2\pi^2}{3} \]

\[ \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^2} = \frac{\pi^2}{6} \]

バーセル問題の結果がフーリエ級数展開を用いて計算されました。