関数の極限の性質・例題について
1. 関数の極限の性質
まず、関数の極限の性質をいくつか見てみましょう。
関数 \( f(x) \) の極限が存在するとき、定数 \( c \) を掛けた場合でも、次のように極限を計算できます。
\( f(x) \) と \( g(x) \) の極限がそれぞれ存在する場合、和の極限はそれぞれの極限の和になります。
差の極限和の極限と同様に、関数の差の極限も、それぞれの極限の差として求められます。
積の極限関数 \( f(x) \) と \( g(x) \) の積の極限は、それぞれの極限の積として計算できます。
商の極限関数の商の極限は、分母の極限がゼロでない場合に、それぞれの極限の商として求められます。
この条件を満たさない場合、極限は存在しないことがあるため注意が必要です。
2. 例題
2.1. 例題 1: 定数倍の極限
\[ \lim_{x \to 2} 3 \cdot (x^2 – 4) \]
まず、関数 \( f(x) = x^2 – 4 \) の極限を求めます。
\[ \lim_{x \to 2} f(x) = \lim_{x \to 2} (x^2 – 4) = 2^2 – 4 = 0 \]
次に、定数 3 を掛けた極限を計算します。
\[ \lim_{x \to 2} 3 \cdot (x^2 – 4) = 3 \cdot \lim_{x \to 2} (x^2 – 4) = 3 \cdot 0 = 0 \]
2.2. 例題 2: 和の極限
\[ \lim_{x \to 1} \left( \frac{1}{x} + x^2 \right) \]
まず、個別に各関数の極限を計算します。
\[ \lim_{x \to 1} \frac{1}{x} = \frac{1}{1} = 1 \] \[ \lim_{x \to 1} x^2 = 1^2 = 1 \]
したがって、和の極限は次のように計算されます。
\[ \lim_{x \to 1} \left( \frac{1}{x} + x^2 \right) = \lim_{x \to 1} \frac{1}{x} + \lim_{x \to 1} x^2 = 1 + 1 = 2 \]
2.3. 例題 3: 差の極限
\[ \lim_{x \to 0} \left( e^x – x \right) \]
まず、個別に各関数の極限を計算します。
\[ \lim_{x \to 0} e^x = e^0 = 1 \] \[ \lim_{x \to 0} x = 0 \]
したがって、差の極限は次のように計算されます。
\[ \lim_{x \to 0} \left( e^x – x \right) = \lim_{x \to 0} e^x – \lim_{x \to 0} x = 1 – 0 = 1 \]
2.4. 例題 4: 積の極限
\[ \lim_{x \to 2} \left( x \cdot \sin \frac{\pi x}{2} \right) \]
まず、個別に各関数の極限を計算します。
\[ \lim_{x \to 2} x = 2 \] \[ \lim_{x \to 2} \sin \frac{\pi x}{2} = \sin \frac{\pi \cdot 2}{2} = \sin \pi = 0 \]
したがって、積の極限は次のように計算されます。
\[ \lim_{x \to 2} \left( x \cdot \sin \frac{\pi x}{2} \right) = \lim_{x \to 2} x \cdot \lim_{x \to 2} \sin \frac{\pi x}{2} = 2 \cdot 0 = 0 \]
2.5. 例題 5: 商の極限
\[ \lim_{x \to 1} \frac{x^2 – 1}{x – 1} \]
まず、分子と分母の極限を個別に計算します。
\[ \lim_{x \to 1} (x^2 – 1) = 1^2 – 1 = 0 \] \[ \lim_{x \to 1} (x – 1) = 1 – 1 = 0 \]
このままでは不定形 \(\frac{0}{0}\) となり、直接極限を求めることができません。そのため、分子を因数分解して、極限を再計算します。
\[ \frac{x^2 – 1}{x – 1} = \frac{(x – 1)(x + 1)}{x – 1} \]
\( x \neq 1 \) のとき、\( x – 1 \) が約分されます。
\[ \lim_{x \to 1} \frac{(x – 1)(x + 1)}{x – 1} = \lim_{x \to 1} (x + 1) = 1 + 1 = 2 \]
