冪零行列の具体例と性質について解説

はるか

冪零行列…うっ漢字が。

ふゅか

これは、「べきぜろぎょうれつ」と読むのよ！

1. 冪零行列とは

冪零行列（べきれいぎょうれつ、nilpotent matrix）とは、ある整数 \( k \) に対して、その行列を \( k \) 回自乗（自分自身を掛ける）すると零行列（全ての要素がゼロの行列）になる行列を指します。

はるか

なるほど。行列を何回か掛けたら零行列になるのか。

1.1. 例

例えば、以下の \( 2 \times 2 \) 行列 \( A \) を考えます。

\[ A = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 0 & 0 \end{pmatrix} \]

この行列 \( A \) の二乗を計算してみると、

\[ A^2 = A \cdot A = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 0 & 0 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 0 & 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix} \]

となり、零行列になります。この場合、\( k = 2 \) で \( A^2 = 0 \) となるため、この行列 \( A \) は冪零行列です。

1.2. 冪零行列の固有値

冪零行列 \( A \) の固有値は、常にゼロです。

行列 \( A \) の固有値 \( \lambda \) と対応する固有ベクトル \( \mathbf{v} \) は次の方程式を満たします。
\[ A \mathbf{v} = \lambda \mathbf{v} \]

この両辺に \( A \) を \( k \) 回作用させると、
\[ A^k \mathbf{v} = \lambda^k \mathbf{v} \]

しかし、\( A \) が冪零行列であるため、\( A^k = 0 \) であることから、
\[ 0 \cdot \mathbf{v} = \lambda^k \mathbf{v} \]

したがって、\( \mathbf{v} \neq 0 \) であるためには \( \lambda^k = 0 \) でなければなりません。したがって、固有値 \( \lambda \) は必ずゼロです。

はるか

固有値がゼロになるのも面白い。