ベルヌーイ試行、ベルヌーイ分布の期待値・分散、例題について

1. ベルヌーイ試行

ベルヌーイ試行は、確率の計算において、同じ条件のもとで行われる独立した実験や試行のことを指します。この試行は2つの可能な結果、つまり「成功」と「失敗」しかありません。

2. ベルヌーイ試行の具体例

2.1. コイン投げ

• 結果: 表（成功）または裏（失敗）
• 成功の確率 \( p \)、失敗の確率 \( 1 - p \)

2.2. サイコロの出目

例えば、1が出ることを「成功」とし、それ以外を「失敗」と定義する場合、成功の確率は \( \frac{1}{6} \)、失敗の確率は \( \frac{5}{6} \) となります。

3. ベルヌーイ分布

ベルヌーイ試行を行った結果の確率分布をベルヌーイ分布と言います。

4. ベルヌーイ分布の性質

はるか

期待値は成功の確率そのままだね。\( E(X) = p \)。

ふゅか

そうだね！成功か失敗のどちらかしかないから、計算が簡単で助かるよね～

4.1. ベルヌーイ分布の期待値

確率変数 \( X \) の成功を 1、失敗を 0 とします。このとき、確率変数 \( X \) の期待値 \( E(X) \) は次のように計算されます。

\[ E(X) = 1 \cdot p + 0 \cdot (1 - p) = p \]

したがって、ベルヌーイ試行の期待値は成功の確率 \( p \) です。

4.2. ベルヌーイ分布の分散

\( X^2 \)の期待値は

\[ E(X^2) = 1^2 \cdot p + 0^2 \cdot (1 - p) = p \]

したがって、分散は$V[X]=E[X^2]-(E[X])^2$であるので、

$$V[X]=E[X^2]-(E[X])^2=p-p^2=p(1-p)$$

5. コイン投げの例題

期待値: \[ E(X) = p = 0.6 \]

分散: \[ \text{Var}(X) = p(1 - p) = 0.6 \times 0.4 = 0.24 \]