ベルヌーイ試行、ベルヌーイ分布の期待値・分散、例題について



1. ベルヌーイ試行
ベルヌーイ試行は、確率の計算において、同じ条件のもとで行われる独立した実験や試行のことを指します。この試行は2つの可能な結果、つまり「成功」と「失敗」しかありません。
2. ベルヌーイ試行の具体例
2.1. コイン投げ
- 結果: 表(成功)または裏(失敗)
- 成功の確率 \( p \)、失敗の確率 \( 1 - p \)
2.2. サイコロの出目
例えば、1が出ることを「成功」とし、それ以外を「失敗」と定義する場合、成功の確率は \( \frac{1}{6} \)、失敗の確率は \( \frac{5}{6} \) となります。
3. ベルヌーイ分布
ベルヌーイ試行を行った結果の確率分布をベルヌーイ分布と言います。
\[ P(X = x) = \begin{cases} p & (x = 1) \\ 1 - p & (x = 0) \end{cases} \]
ここで、\( X \) は結果を表す確率変数であり、\( x \) は 0 または 1 のいずれかの値をとります。
4. ベルヌーイ分布の性質


4.1. ベルヌーイ分布の期待値
\[ E(X) = p \]
確率変数 \( X \) の成功を 1、失敗を 0 とします。このとき、確率変数 \( X \) の期待値 \( E(X) \) は次のように計算されます。
\[ E(X) = 1 \cdot p + 0 \cdot (1 - p) = p \]
したがって、ベルヌーイ試行の期待値は成功の確率 \( p \) です。
4.2. ベルヌーイ分布の分散
\[ V(X) = p(1-p) \]
\( X^2 \)の期待値は
\[ E(X^2) = 1^2 \cdot p + 0^2 \cdot (1 - p) = p \]
したがって、分散は$V[X]=E[X^2]-(E[X])^2$であるので、
$$V[X]=E[X^2]-(E[X])^2=p-p^2=p(1-p)$$
5. コイン投げの例題
期待値: \[ E(X) = p = 0.6 \]
分散: \[ \text{Var}(X) = p(1 - p) = 0.6 \times 0.4 = 0.24 \]