ベルヌーイの不等式の意味と証明について
1. ベルヌーイの不等式とは？
任意の実数 \( x \) に対して、整数 \( n \geq 1 \) のとき 以下のベルヌーイの不等式（Bernoulli’s inequality） が成り立ちます。
\[ (1 + x)^n \geq 1 + nx \]
ただし、\( x \geq -1 \) である必要があります。
2. 数学的帰納法を利用した証明
数学的帰納法を用いて不等式
\[ (1+x)^n – 1 – nx \geq 0 \]
を証明します。
\( n = 1 \) の場合
\[ (1 + x)^1 – 1 – 1x = 1 + x – 1 – x = 0 \]
が成り立つので、ベースケースは成立します。
\( n = k \) のとき、不等式
\[ (1 + x)^k – 1 – kx \geq 0 \]
が成り立つと仮定します。
\( n = k+1 \) の場合、
\[ (1 + x)^{k+1} – 1 – (k+1)x \]
帰納法の仮定より、$ (1 + x)^k \geq 1 + kx$が成り立つので、これを利用すると
\[ \begin{align*} (1 + x)^k (1 + x) – 1 – (k+1)x &\geq (1 + kx)(1 + x) – 1 – (k+1)x \\ &\geq 1 + kx + x + kx^2 – 1 – (k+1)x \\ &\geq kx^2 \\ &\geq 0 \end{align*}\]
が成り立つ。つまり、n=k+1の時も不等式は成り立つ。
数学的帰納法により、任意の自然数 \( n \) に対して
\[ (1+x)^n – 1 – nx \geq 0 \]
が成り立つことが示されました。
3. ベルヌーイの不等式の一般化
ベルヌーイの不等式 は、以下のように一般化された形で表されます。
\[ (1 + x_1)(1 + x_2) \dots (1 + x_r) \geq 1 + x_1 + x_2 + \dots + x_r \]
ただし、\( x_1, x_2, \dots, x_r \) はすべて \( x_i > -1 \) を満たし、同じ符号を持つものとします。
この不等式は、通常のベルヌーイの不等式 を多変数で拡張しています。特に、すべての \( x_i \) が同じ値 \( x \) である場合、
\[ (1 + x)^r \geq 1 + rx \]
となり、元のベルヌーイの不等式が得られます。
4. 一般化した不等式の証明
数学的帰納法を用いて、不等式
\[ (1 + x_1)(1 + x_2) \dots (1 + x_r) -( 1 + x_1 + x_2 + \dots + x_r) \geq 0 \]
がすべての \( r \geq 1 \) について成り立つことを証明します。
\( r = 1 \) の場合、不等式は次のようになります。
\[ (1 + x_1) – (1 + x_1) = 0 \]
したがって、成り立ちます。
ある整数 \( r \) に対して、
\[ (1 + x_1)(1 + x_2) \dots (1 + x_r) -( 1 + x_1 + x_2 + \dots + x_r ) \geq 0 \]
が成り立つと仮定します。
\( r+1 \) の場合を考えると、左辺は
\[ (1 + x_1)(1 + x_2) \dots (1 + x_r)(1 + x_{r+1}) – (1 + x_1 + x_2 + \dots + x_r + x_{r+1}) \]
となります。ここで、帰納法の仮定より、
\[\begin{align*} &(1 + x_1)(1 + x_2) \dots (1 + x_r)(1 + x_{r+1}) – (1 + x_1 + x_2 + \dots + x_r + x_{r+1}) \\ &\geq (1 + x_1 + x_2 + \dots + x_r )(1 + x_{r+1}) – (1 + x_1 + x_2 + \dots + x_r + x_{r+1}) \\ &= (1 + x_1 + x_2 + \dots + x_r ) x_{r+1}- x_{r+1} \\ &= ( x_1 + x_2 + \dots + x_r ) x_{r+1} \\ &\geq 0 \end{align*}\]
が成り立つ。
よって、
\[ (1 + x_1)(1 + x_2) \dots (1 + x_{r+1}) – (1 + x_1 + x_2 + \dots + x_{r+1}) \geq 0 \]
が成り立つことが示されました。
数学的帰納法により、任意の自然数 \( r \) に対して
\[ (1 + x_1)(1 + x_2) \dots (1 + x_r) -( 1 + x_1 + x_2 + \dots + x_r ) \geq 0 \]
が成立することが証明されました。
