Berry–Esseenの不等式（定理）の意味について

1. ベリー＝エシーンの定理 (Berry–Esseen theorem) とは？

ベリー＝エシーンの定理は、中心極限定理 (CLT: Central Limit Theorem) に関する精度を定量的に示す定理です。

1.1. 背景

中心極限定理 (CLT) 中心極限定理によれば、独立で同分布 (i.i.d.) の確率変数 $X_1, X_2, \dots, X_n$ の和が適切に標準化されると、 $n \to \infty$ のとき標準正規分布 $\mathcal{N}(0,1)$ に分布収束します。

具体的に、各確率変数 $X_i$ の期待値 $\mathbb{E}[X_i] = \mu$、分散 $\text{Var}(X_i) = \sigma^2$ が存在する場合、

$$S_n = \frac{1}{\sqrt{n}} \sum_{i=1}^{n} (X_i - \mu)$$

は標準正規分布に収束します。

しかし、中心極限定理の精度そのものでは明示されません。

2. 定理の定式化

独立な確率変数 $X_1, X_2, \dots, X_n$ があり、それぞれの期待値 $\mathbb{E}[X_i] = \mu$、分散 $\text{Var}(X_i) =\sigma ^2$ となるとします。また、このとき、確率変数$S_n$を

$$S_n =\frac{1}{\sigma \sqrt{n}}\sum_{j=1}^{n}(X_j-\mu))$$

$\Phi(x)$を標準正規分布の累積分布関数とすると、中心極限定理の精度の評価は次のようにされます。

$$\sup_{x \in \mathbb{R}} \left| P(S_n \leq x) - \Phi(x) \right| \leq \frac{C\rho_i}{\sqrt{n}}$$

ここで $C$ は、一般に

$$0.4049 \leq C \leq 0.7975$$

が知られています。