ベッセルの不等式の証明と具体例について
1. ベッセルの不等式とは
ベッセルの不等式は、計量線形空間における不等式の一つです。
1.1. 証明
ノルムの2乗が正であることを利用すると、
\[ 0 \leq \left\| x – \sum_{k=1}^{n} \langle x, e_k \rangle e_k \right\|^2 \]
ここで、\( \langle x, e_k \rangle \) は \( x \) と \( e_k \) の内積を表し、\( \|x\| \) は \( x \) のノルムです。この不等式を計算すると次のようになります。
\[ \left\| x – \sum_{k=1}^{n} \langle x, e_k \rangle e_k \right\|^2 = \|x\|^2 – 2\sum_{k=1}^{n}|\langle x, e_k \rangle|^2 + \sum_{k=1}^{n}|\langle x, e_k \rangle|^2 \]
この式を整理すると、
\[ \|x\|^2 – \sum_{k=1}^{n}|\langle x, e_k \rangle|^2 \geq 0 \]
したがって、
\[ \sum_{k=1}^{n} |\langle x, e_k \rangle|^2 \leq \|x\|^2 \]
となります。
ここで、$n\to\infty$とすると、
\[ \sum_{k=1}^{\infty} |\langle x, e_k \rangle|^2 \leq \|x\|^2 \]
となります。
2. ベッセルの不等式の具体例
\( \mathbb{R}^2 \) を考え、直交基底を \( e_1 = (1, 0) \) と \( e_2 = (0, 1) \) とします。そして、ベクトル \( x = (3, 4) \) を考えます。
ベクトル \( x \) のノルムを計算します。
\[ \|x\| = \sqrt{3^2 + 4^2} = \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5. \]
したがって、\( \|x\|^2 = 25 \) です。
内積 \( \langle x, e_1 \rangle \) と \( \langle x, e_2 \rangle \) を計算します。
\[ \langle x, e_1 \rangle = 3 \times 1 + 4 \times 0 = 3, \]
\[ \langle x, e_2 \rangle = 3 \times 0 + 4 \times 1 = 4. \]
ベッセルの不等式の左辺を計算します。
\[ |\langle x, e_1 \rangle|^2 + |\langle x, e_2 \rangle|^2 = 3^2 + 4^2 = 9 + 16 = 25. \]
ベッセルの不等式を確認します。
\[ \sum_{i=1}^{2} |\langle x, e_i \rangle|^2 = 25 \leq \|x\|^2 = 25. \]
