ベータ関数の基本的な性質！複数の積分表示や関係式について
1. ベータ関数とは
ガンマ関数を用いると、このベータ関数は次のように表せます。\[ B(x, y) = \frac{\Gamma(x) \Gamma(y)}{\Gamma(x + y)} \]
1.1. ガンマ関数の表示
ガンマ関数の定義より、ガンマ関数の積を計算します。
\[ \Gamma(x) \Gamma(y) = \left( \int_0^\infty s^{x-1} e^{-s} \, ds \right) \left( \int_0^\infty t^{y-1} e^{-t} \, dt \right) \]
変数変換 \( s = uv \) および \( t = u(1-v) \) を使用して置換積分を行います。
\[ \Gamma(x) \Gamma(y) = \int_0^\infty \int_0^\infty s^{x-1} t^{y-1} e^{-(s+t)} \, ds \, dt \]
ここで、 \( s = uv \) と \( t = u(1-v) \) を用いると、
\[ ds \, dt = u \, du \, dv \]
したがって、積分の範囲は \( s \ge 0 \), \( t \ge 0 \), つまり \( u \ge 0 \), \( 0 \le v \le 1 \) です。
これをガンマ関数の積分に変換します。
\[ \Gamma(x) \Gamma(y) = \int_0^\infty \int_0^1 (uv)^{x-1} (u(1-v))^{y-1} u^2 e^{-u} \, dv \, du \]
積分の内部を整理すると、
\[ \Gamma(x) \Gamma(y) = \int_0^\infty u^{x-1} u^{y-1} u e^{-u} \, du \int_0^1 v^{x-1} (1-v)^{y-1} \, dv \]
\[ \Gamma(x) \Gamma(y) = \int_0^\infty u^{x+y-1} e^{-u} \, du \int_0^1 v^{x-1} (1-v)^{y-1} \, dv \]
この積分を解くと、次のようになります、
\[ \int_0^\infty u^{x+y-1} e^{-u} \, du = \Gamma(x + y) \]
\[ \int_0^1 v^{x-1} (1-v)^{y-1} \, dv = B(x, y) \]
したがって、
\[ \Gamma(x) \Gamma(y) = \Gamma(x + y) B(x, y) \]
これを解くと、
\[ B(x, y) = \frac{\Gamma(x) \Gamma(y)}{\Gamma(x + y)} \]
これにより、ベータ関数がガンマ関数の積として表されることが示された。
2. ベータ関数の関係式
- \( B(x, y) = B(y, x) \)
- \( xB(x, y+1) = yB(x+1, y) \)
- \( B(x, y) = B(x+1, y) + B(x, y+1) \)
- \( (x + y) B(x+1, y) = x B(x, y) \)
- \(B(x, x) = 2^{1 – 2x} B\left(\frac{1}{2}, x\right)\)
2.1. \( B(x, y) = B(y, x) \)
置換 \( t = 1 – u \) を行います。このとき \( du = -dt \) となります。
\[ B(x, y) = \int_0^1 t^{x-1} (1-t)^{y-1} \, dt \] \[ u = 1 – t \] と置換すると、 \[ t = 1 – u \] \[ dt = -du \]
積分の範囲は次のように変わります。
- \( t = 0 \) のとき \( u = 1 \)
- \( t = 1 \) のとき \( u = 0 \)
したがって、 \[ B(x, y) = \int_1^0 (1-u)^{x-1} u^{y-1} (-du) \] \[ = \int_0^1 u^{y-1} (1-u)^{x-1} \, du \] \[ = B(y, x) \]
2.2. \( xB(x, y+1) = yB(x+1, y) \)
ベータ関数の定義は次の通りです。
\[ B(x, y) = \frac{\Gamma(x) \Gamma(y)}{\Gamma(x+y)} \]
ガンマ関数の性質より、 \[ \Gamma(x+1) = x \Gamma(x) \]
\[ B(x, y+1) = \frac{\Gamma(x) \Gamma(y+1)}{\Gamma(x+y+1)} \] \[ B(x+1, y) = \frac{\Gamma(x+1) \Gamma(y)}{\Gamma(x+y+1)} \]
ガンマ関数の性質を用いて、 \[ \Gamma(y+1) = y \Gamma(y) \] \[ B(x, y+1) = \frac{\Gamma(x) y \Gamma(y)}{\Gamma(x+y+1)} \] \[ B(x+1, y) = \frac{x \Gamma(x) \Gamma(y)}{\Gamma(x+y+1)} \]
したがって、 \[ x B(x, y+1) = x \frac{\Gamma(x) y \Gamma(y)}{\Gamma(x+y+1)} = y \frac{x \Gamma(x) \Gamma(y)}{\Gamma(x+y+1)} = y B(x+1, y) \]
2.3. \( B(x, y) = B(x+1, y) + B(x, y+1) \)
\[ B(x, y) = \frac{\Gamma(x) \Gamma(y)}{\Gamma(x+y)} \]
再帰関係を用いて、 \[ \Gamma(x+1) = x \Gamma(x) \] \[ \Gamma(y+1) = y \Gamma(y) \]
これを用いると、 \[ B(x+1, y) + B(x, y+1) = \frac{\Gamma(x+1) \Gamma(y)}{(x+y) \Gamma(x+y)} + \frac{\Gamma(x) \Gamma(y+1)}{(x+y) \Gamma(x+y)} \] \[ = \frac{x \Gamma(x) \Gamma(y)}{(x+y) \Gamma(x+y)} + \frac{y \Gamma(x) \Gamma(y)}{(x+y) \Gamma(x+y)} \] \[ = \frac{x \Gamma(x) \Gamma(y) + y \Gamma(x) \Gamma(y)}{(x+y) \Gamma(x+y)} \] \[ = \frac{\Gamma(x) \Gamma(y) (x+y)}{(x+y) \Gamma(x+y)} \] \[ = \frac{\Gamma(x) \Gamma(y)}{\Gamma(x+y)} \]
したがって、 \[ B(x, y) = B(x+1, y) + B(x, y+1) \]
2.4. \( (x + y) B(x+1, y) = x B(x, y) \)
ベータ関数の積分定義と性質を再度用います。
\[ B(x+1, y) = \frac{\Gamma(x+1) \Gamma(y)}{\Gamma(x+y+1)} \] \[ B(x, y) = \frac{\Gamma(x) \Gamma(y)}{\Gamma(x+y)} \]
ガンマ関数の性質 \( \Gamma(x+1) = x \Gamma(x) \) を用いると、
\[ B(x+1, y) = \frac{x \Gamma(x) \Gamma(y)}{\Gamma(x+y+1)} \]
ガンマ関数の性質より、 \[ \Gamma(x+y+1) = (x+y) \Gamma(x+y) \]
したがって、 \[ B(x+1, y) = \frac{x \Gamma(x) \Gamma(y)}{(x+y) \Gamma(x+y)} \]
両辺に \( (x+y) \) を掛けると、 \[ (x+y) B(x+1, y) = \frac{x \Gamma(x) \Gamma(y)}{\Gamma(x+y)} \] \[ (x+y) B(x+1, y) = x B(x, y) \]
3. ベータ関数の別の積分表示
- \( B(x, y) = 2 \int_0^{\pi/2} \sin^{2x-1} \theta \cos^{2y-1} \theta \, d\theta \)
- \( B(x, y) = \int_0^\infty \frac{t^{x-1}}{(1 + t)^{x+y}} \, dt \)
- \( B(x, y) = \frac{1}{2^{x+y-1}} \int_{-1}^1 (1+t)^{x-1} (1-t)^{y-1} \, dt \)
3.1. 三角関数の表現
\[ B(x, y) = \int_0^1 t^{x-1} (1-t)^{y-1} \, dt \]
通常のベータ関数を変数変換 \( t = \sin^2 \theta \) を用います。この場合、
\[ dt = 2 \sin \theta \cos \theta \, d\theta \] \[ \theta = 0 の時、t = 0 \] \[ \theta = \frac{\pi}{2} の時、t = 1 \]
変数変換 \( t = \sin^2 \theta \) を代入します。
\[ B(x, y) = 2 \int_0^{\frac{\pi}{2}} (\sin \theta)^{2x-2} (\cos \theta)^{2y-2} \sin \theta \cos \theta \, d\theta \]
項をまとめると、
\[ B(x, y) = 2 \int_0^{\frac{\pi}{2}} \sin^{2x-1} \theta \cos^{2y-1} \theta \, d\theta \]
3.2. 分数の表現
変数変換 \( t = \dfrac{u}{1-u} \) を用います。
\[ dt = \frac{du}{(1-u)^2} \] \[ t = 0 の時、u = 0 \] \[ t = \infty の時、u = 1 \]$$t+1 = \dfrac{1}{1-u}$$
これを用いて、積分を \( u \) の関数として書き換えます。
\[ \int_0^1 \left(\frac{u}{1-u}\right)^{x-1} (1-u)^{x+y} \frac{du}{(1-u)^2} \]
$$\displaystyle\int_0^1 \left(\frac{u}{1-u}\right)^{x-1} (1-u)^{x+y-2} \, du $$
$$\displaystyle\int_0^1 u^{x-1} (1-u)^{y-1} \, du = B(x,y)$$
3.3. 指数がある表現
変数変換 \( t = 2u – 1 \) を用います。この場合、
\[ dt = 2 du \] \[ t = -1 の時、u = 0 \] \[ t = 1 の時、u = 1 \]
これを用いて、積分を \( u \) の関数として書き換えます。
\[\frac{1}{2^{x+y-1}} \int_0^1 \left(1 + 2u – 1\right)^{x-1} \left(1 – (2u – 1)\right)^{y-1} 2 \, du \]
\[ =\frac{1}{2^{x+y-1}} \int_0^1 (2u)^{x-1} (2 – 2u)^{y-1} 2 \, du \]
\[ =\frac{1}{2^{x+y-1}} \int_0^1 2^{x-1} u^{x-1} 2^{y-1} (1 – u)^{y-1} 2 \, du \]
\[ =\frac{1}{2^{x+y-1}} \cdot 2^{x+y-1} \int_0^1 u^{x-1} (1 – u)^{y-1} \, du \]
\[ = \int_0^1 u^{x-1} (1 – u)^{y-1} \, du = B(x, y) \]
