二項演算の意味と性質、具体例について


はるか
二項演算について話す

ふゅか
二つのものを組み合わせて新しいものを作るって感じだよね?たとえば、足し算とか!

はるか
そう。加法や乗法が典型例。集合Aに対して、要素を二つ選んで新しい要素を作る操作。
1. 二項演算とは?
数学の基礎的な概念の一つに「二項演算」があります。これは、二つの要素に対して特定のルールを適用して、新しい要素を得る操作のことです。例えば、加法や乗法は典型的な二項演算の例です。
1.1. 二項演算の定義
二項演算とは、次のように定義されます。
- 集合 \(A\) が与えられているとき、二項演算とは、集合 \(A\) 上の演算\(\ast\) のことです。
- このルールは、\(A\) の任意の二つの要素 \(a, b\) を取り、新しい要素 \(a \ast b\) を \(A\) に対応させます。
つまり、\(\ast\) は次のような写像と考えられます:
\[ \ast : A \times A \to A \]
ここで、\(A \times A\) は \(A\) の要素の組(順序対)全体を表します。
2. 具体例
2.1. 加法
集合 \(A = \{0, 1, 2, \dots\}\) 上での加法 \(+\) は、二項演算です。
例えば、\(2 + 3 = 5\)。
2.2. 乗法
同じく集合 \(A = \{0, 1, 2, \dots\}\) 上での乗法 \(\cdot\) も二項演算です。
例えば、\(2 \cdot 3 = 6\)。
2.3. ブール代数
集合 \(A = \{\text{true}, \text{false}\}\) 上の論理積(AND)は二項演算です。
例えば、\(\text{true} \wedge \text{false} = \text{false}\)。
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