二項演算の意味と性質、具体例について

1. 二項演算とは？

数学の基礎的な概念の一つに「二項演算」があります。これは、二つの要素に対して特定のルールを適用して、新しい要素を得る操作のことです。例えば、加法や乗法は典型的な二項演算の例です。

1.1. 二項演算の定義

二項演算とは、次のように定義されます。

• 集合 \(A\) が与えられているとき、二項演算とは、集合 \(A\) 上の演算\(\ast\) のことです。
• このルールは、\(A\) の任意の二つの要素 \(a, b\) を取り、新しい要素 \(a \ast b\) を \(A\) に対応させます。

つまり、\(\ast\) は次のような写像と考えられます：

\[ \ast : A \times A \to A \]

ここで、\(A \times A\) は \(A\) の要素の組（順序対）全体を表します。

2. 具体例

2.1. 加法

集合 \(A = \{0, 1, 2, \dots\}\) 上での加法 \(+\) は、二項演算です。

例えば、\(2 + 3 = 5\)。

2.2. 乗法

同じく集合 \(A = \{0, 1, 2, \dots\}\) 上での乗法 \(\cdot\) も二項演算です。

例えば、\(2 \cdot 3 = 6\)。

2.3. ブール代数

集合 \(A = \{\text{true}, \text{false}\}\) 上の論理積（AND）は二項演算です。

例えば、\(\text{true} \wedge \text{false} = \text{false}\)。