二項分布とモーメント母関数による計算方法について
1. 二項分布とモーメント母関数
二項分布 \( B(n, p) \) の確率質量関数 (PMF) は次のように定義されます
\[ P(X = k) = \binom{n}{k} p^k (1-p)^{n-k}, \quad k = 0, 1, \ldots, n \]
2. モーメント母関数
モーメント母関数は次の式で定義されます
\[ M_X(t) = \mathbb{E}[e^{tX}] \]
二項分布 \( B(n, p) \) のモーメント母関数を計算してみましょう。
2.1. 二項分布のモーメント母関数の導出
モーメント母関数の式に確率質量関数を代入すると
\[ M_X(t) = \sum_{k=0}^n e^{tk} \binom{n}{k} p^k (1-p)^{n-k} \]
式を整理する：
\[ M_X(t) = \sum_{k=0}^n \binom{n}{k} (pe^t)^k (1-p)^{n-k} \]
二項定理を利用して
\[ M_X(t) = (pe^t + 1-p)^n \]
したがって
\[ M_X(t) = (1-p + pe^t)^n \]
3. モーメント母関数による期待値と分散の導出
3.1. 期待値の導出
期待値はモーメント母関数の微分で求めることができるので、モーメント母関数を \( t \) で微分すると
\[ \begin{align*}M_X'(t) &= \frac{d}{dt} \big[ (1-p + pe^t)^n \big] \\ &= n (1-p + pe^t)^{n-1} \cdot pe^t \end{align*}\]
\( t = 0 \) を代入
\[ M_X'(0) = n (1-p + pe^0)^{n-1} \cdot p \cdot e^0 \] ここで、\( e^0 = 1 \) なので： \[ M_X'(0) = n (1-p + p)^{n-1} \cdot p \] また、\( 1-p + p = 1 \) なので： \[ M_X'(0) = n \cdot p \]
期待値は
\[ \mathbb{E}[X] = np \]
3.2. 分散の導出
分散 \( \text{Var}(X) \) は次の式で求められます
\[ \text{Var}(X) = \mathbb{E}[X^2] - (\mathbb{E}[X])^2 \]
モーメント母関数の２階微分と１階微分から分散を計算することができる。
1階微分 \( M_X'(t) \) は
\[ M_X'(t) = n (1-p + pe^t)^{n-1} \cdot pe^t \]
これをさらに微分します。
\[ M_X”(t) = n \cdot \frac{d}{dt} \big[ (1-p + pe^t)^{n-1} \cdot pe^t \big] \]
これを展開すると2つの項に分かれます
\[ M_X”(t) = n \big[ (n-1)(1-p + pe^t)^{n-2} \cdot p^2e^{2t} + (1-p + pe^t)^{n-1} \cdot pe^t \big] \]
各項について \( t = 0 \) を代入します。
- 最初の項： \[ (n-1)(1-p + pe^0)^{n-2} \cdot p^2e^{0} = (n-1)(1)^{n-2} \cdot p^2 = (n-1)p^2 \]
- 次の項： \[ (1-p + pe^0)^{n-1} \cdot pe^0 = (1)^{n-1} \cdot p = p \]
したがって
\[ M_X”(0) = n \big[ (n-1)p^2 + p \big] = n \big[ np^2 - p^2 + p \big] = n (p^2 + p - p^2) = n p(1-p) \]
分散を計算：
$$\begin{align*} \text{Var}(X) &= M_X”(0) - (M_X'(0))^2 \\ &= np(1-p) - (np)^2 \\ &= np(1-p) \end{align*}$$
