更新:2025/01/06

二項分布とモーメント母関数による計算方法について

はるか
はるか
二項分布って知ってる?
ふゅか
ふゅか
知ってる!成功確率が一定の試行を繰り返したときの成功回数を表す確率分布よね。

1. 二項分布とモーメント母関数

二項分布 \( B(n, p) \) の確率質量関数 (PMF) は次のように定義されます

\[ P(X = k) = \binom{n}{k} p^k (1-p)^{n-k}, \quad k = 0, 1, \ldots, n \]

2. モーメント母関数

モーメント母関数は次の式で定義されます

\[ M_X(t) = \mathbb{E}[e^{tX}] \]

二項分布 \( B(n, p) \) のモーメント母関数を計算してみましょう。

2.1. 二項分布のモーメント母関数の導出

モーメント母関数の式に確率質量関数を代入すると

\[ M_X(t) = \sum_{k=0}^n e^{tk} \binom{n}{k} p^k (1-p)^{n-k} \]

式を整理する:

\[ M_X(t) = \sum_{k=0}^n \binom{n}{k} (pe^t)^k (1-p)^{n-k} \]

二項定理を利用して

\[ M_X(t) = (pe^t + 1-p)^n \]

したがって

\[ M_X(t) = (1-p + pe^t)^n \]

はるか
はるか
モーメント母関数も簡単に計算できる。
ふゅか
ふゅか
えーっと、確率質量関数を代入して整理するんだよね!

3. モーメント母関数による期待値と分散の導出

はるか
はるか
期待値の計算は微分するだけ。
ふゅか
ふゅか
そうだね!モーメント母関数をtで微分して、t=0を代入するんだよね。

3.1. 期待値の導出

期待値はモーメント母関数の微分で求めることができるので、モーメント母関数を \( t \) で微分すると

\[ \begin{align*}M_X'(t) &= \frac{d}{dt} \big[ (1-p + pe^t)^n \big] \\ &= n (1-p + pe^t)^{n-1} \cdot pe^t \end{align*}\]

\( t = 0 \) を代入

\[ M_X'(0) = n (1-p + pe^0)^{n-1} \cdot p \cdot e^0 \] ここで、\( e^0 = 1 \) なので: \[ M_X'(0) = n (1-p + p)^{n-1} \cdot p \] また、\( 1-p + p = 1 \) なので: \[ M_X'(0) = n \cdot p \]

期待値は

\[ \mathbb{E}[X] = np \]

3.2. 分散の導出

分散 \( \text{Var}(X) \) は次の式で求められます

\[ \text{Var}(X) = \mathbb{E}[X^2] - (\mathbb{E}[X])^2 \]

モーメント母関数の2階微分と1階微分から分散を計算することができる。

1階微分 \( M_X'(t) \) は

\[ M_X'(t) = n (1-p + pe^t)^{n-1} \cdot pe^t \]

これをさらに微分します。

\[ M_X”(t) = n \cdot \frac{d}{dt} \big[ (1-p + pe^t)^{n-1} \cdot pe^t \big] \]

これを展開すると2つの項に分かれます

\[ M_X”(t) = n \big[ (n-1)(1-p + pe^t)^{n-2} \cdot p^2e^{2t} + (1-p + pe^t)^{n-1} \cdot pe^t \big] \]

各項について \( t = 0 \) を代入します。

  • 最初の項: \[ (n-1)(1-p + pe^0)^{n-2} \cdot p^2e^{0} = (n-1)(1)^{n-2} \cdot p^2 = (n-1)p^2 \]
  • 次の項: \[ (1-p + pe^0)^{n-1} \cdot pe^0 = (1)^{n-1} \cdot p = p \]

したがって

\[ M_X”(0) = n \big[ (n-1)p^2 + p \big] = n \big[ np^2 - p^2 + p \big] = n (p^2 + p - p^2) = n p(1-p) \]

分散を計算:

$$\begin{align*} \text{Var}(X) &= M_X”(0) - (M_X'(0))^2 \\ &= np(1-p) - (np)^2 \\ &= np(1-p) \end{align*}$$

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