更新:2024/10/11

誕生日のパラドックス

$ある特定の場所に人がｎ人いると仮定する。 (n\in \mathbb{N}) $

$同じ誕生日の人が2人いる確率をp_{n}とおく。$

$n\leq 365のとき、誕生日が一人ずつ異なる確率を求め、余事象より$

$p_{n}$

$\large=1-\frac{364}{365}\times \frac{363}{365}\ldots \ldots \frac{365-\left( n-1\right) }{365}$

$\large=1-\frac{1}{365^{n-1}}\times \left\{364\cdot 363\cdot 362\cdot\cdot\cdot \cdot\cdot \left( 365-n+1\right) \right\} $

$364\cdot 363\cdot 362\cdot\cdot\cdot \cdot\cdot \left( 365-n+1\right) の分子分母に\left( 365-n\right) !をかけると、$

$p_{n}$

$\large=1-\frac{365!}{365^{n}\left( 365-n\right) !}$

$\large=1-\frac{{}_3{}_6{}_5 \mathrm{P}_n }{365^{n}}$

$n\geq 366のとき、必ず同じ誕生日のペアができるから、$

$p_{n}=1$

$したがって、p_{n}は$

$p_{n}=\large\begin{cases}1-\frac{{}_3{}_6{}_5 \mathrm{P}_n }{365^{n}}\left( n\leq 365\right) \\ 1\left( n\geq 366\right) \end{cases}$

$p_{10}=0.1169$

$p_{20}=0.4114$

$p_{21}=0.4437$

$p_{22}=0.4757$

$p_{23}=0.5072$

したがって、n=23の時、初めて50％を超えたことがわかる。
つまり24人クラスなら、５０パーセント以上の確率で同じ誕生日のペアができることになります。

$部屋に入ったとき同じ誕生日の人がいる確率をq_{n}とすると、\\余事象の考え方より、$

$q_{n}=\large1-\left( \frac{364}{365}\right) ^{n}$

$q_{10}=0.0271$

$q_{20}=0.0534$

$q_{30}=0.0790$
$q_{40}=0.1039$

$q_{50}=0.1281$

$q_{60}=0.1518$

$\vdots $

$q_{252}=0.4991$

$q_{253}=0.5004$

したがって、n=253の時、初めて50％を超えたことがわかる。