誕生日のパラドックス
1. 誕生日のパラドックス
1.1. 同じ誕生日の人が2人いる場合
$ある特定の場所に人がn人いると仮定する。 (n\in \mathbb{N}) $
$同じ誕生日の人が2人いる確率をp_{n}とおく。$
$n\leq 365のとき、誕生日が一人ずつ異なる確率を求め、余事象より$
$p_{n}$
$\large=1-\frac{364}{365}\times \frac{363}{365}\ldots \ldots \frac{365-\left( n-1\right) }{365}$
$\large=1-\frac{1}{365^{n-1}}\times \left\{364\cdot 363\cdot 362\cdot\cdot\cdot \cdot\cdot \left( 365-n+1\right) \right\} $
$364\cdot 363\cdot 362\cdot\cdot\cdot \cdot\cdot \left( 365-n+1\right) の分子分母に\left( 365-n\right) !をかけると、$
$p_{n}$
$\large=1-\frac{365!}{365^{n}\left( 365-n\right) !}$
$\large=1-\frac{{}_3{}_6{}_5 \mathrm{P}_n }{365^{n}}$
$n\geq 366のとき、必ず同じ誕生日のペアができるから、$
$p_{n}=1$
$したがって、p_{n}は$
$p_{n}=\large\begin{cases}1-\frac{{}_3{}_6{}_5 \mathrm{P}_n }{365^{n}}\left( n\leq 365\right) \\ 1\left( n\geq 366\right) \end{cases}$
1.2. 具体的な数値
$p_{10}=0.1169$
$p_{20}=0.4114$
$p_{21}=0.4437$
$p_{22}=0.4757$
$p_{23}=0.5072$
したがって、n=23の時、初めて50%を超えたことがわかる。
つまり24人クラスなら、50パーセント以上の確率で同じ誕生日のペアができることになります。
1.3. あなたが部屋に入ったとき同じ誕生日の人がいる場合
$部屋に入ったとき同じ誕生日の人がいる確率をq_{n}とすると、\\余事象の考え方より、$
$q_{n}=\large1-\left( \frac{364}{365}\right) ^{n}$
1.4. 具体的な数値
$q_{10}=0.0271$
$q_{20}=0.0534$
$q_{30}=0.0790$
$q_{40}=0.1039$
$q_{50}=0.1281$
$q_{60}=0.1518$
$\vdots $
$q_{252}=0.4991$
$q_{253}=0.5004$
したがって、n=253の時、初めて50%を超えたことがわかる。