微分積分学の演習のtips

1. 問題

1.1. 積分問題

1.1.1. 問題1

$b > 1$とする。

$\displaystyle\int^{\frac{\pi}{2}}_{-\frac{\pi}{2}}\displaystyle\frac{1}{b-\sin \theta} d\theta$

$\displaystyle\lim_{x \to \infty} \tan^{-1}x=\displaystyle\frac{\pi}{2}$を用いてもよい。

1.1.2. 問題２

$n$を自然数、$A \neq0$とするとき、

$I_{n}=\displaystyle\int\displaystyle\frac{1}{(x^2+A)^n}dx$

を用いて

$I_{n}=\displaystyle\frac{1}{2(n-1)A}\Biggr\lbrace\displaystyle\frac{x}{(x^2+A)^n}+(2n-3)I_{n-1}\Biggr\rbrace$　$n\geq2$

漸化式となることを示せ。

1.1.3. 問題２のヒント

$\displaystyle\frac{x}{(x^2+A)^n}$があるから、部分積分と予想します。

2. 解法

2.1. 問題1の解法

$\tan \displaystyle\frac{\theta}{2}=t$と置換すると、

$d\theta=\displaystyle\frac{2}{1+t^2}dt$、$\sin \theta=\displaystyle \frac{2t}{1+t^2}$となるため、

$\displaystyle\int^{\frac{\pi}{2}}_{-\frac{\pi}{2}}\displaystyle\frac{1}{b-\sin \theta} d\theta$

$=\displaystyle\int^{1}_{-1} \displaystyle\frac{1}{b-\displaystyle \frac{2t}{1+t^2}} \cdot \displaystyle\frac{2}{1+t^2}dt$

$=2\displaystyle\int^{1}_{-1} \displaystyle\frac{1}{bt^2-2t+b} dt$

$=\displaystyle\frac{2}{b}\displaystyle\int^{1}_{-1} \displaystyle\frac{1}{\left(t-\displaystyle\frac{1}{b}\right)^2+1-\displaystyle\frac{1}{b^2}} dt$

$1-\displaystyle\frac{1}{b^2}>0$より、

$=\displaystyle\frac{2}{b}\cdot \displaystyle\frac{1}{\sqrt{1-\displaystyle\frac{1}{b^2}}}\left[\tan^{-1}\displaystyle\frac{t-\displaystyle\frac{1}{b}}{\sqrt{1-\displaystyle\frac{1}{b^2}}}\right]^{1}_{-1}$

$=\displaystyle\frac{2}{\sqrt{b^2-1}} \cdot \tan^{-1} \displaystyle\frac{1-\displaystyle\frac{1}{b}}{\sqrt{1-\displaystyle\frac{1}{b^2}}}-\displaystyle\frac{2}{\sqrt{b^2-1}} \cdot \tan^{-1} \displaystyle\frac{-1-\displaystyle\frac{1}{b}}{\sqrt{1-\displaystyle\frac{1}{b^2}}}$

$=\displaystyle\frac{2}{\sqrt{b^2-1}} \cdot \tan^{-1} \displaystyle\frac{b-1}{\sqrt{b^2-1}}+\displaystyle\frac{2}{\sqrt{b^2-1}} \cdot \tan^{-1} \displaystyle\frac{b+1}{\sqrt{b^2-1}}$

$=\displaystyle\frac{2}{\sqrt{b^2-1}} \cdot \tan^{-1}\left(\displaystyle\frac{\displaystyle\frac{b-1}{\sqrt{b^2-1}}+\displaystyle\frac{b+1}{\sqrt{b^2-1}}}{1-\displaystyle\frac{b^2-1}{b^2-1}}\right)$

$=\displaystyle\frac{2}{\sqrt{b^2-1}}\cdot\displaystyle\frac{\pi}{2}$

$=\displaystyle\frac{\pi}{\sqrt{b^2-1}}$

2.2. 問題２の解法

nが自然数の時、

$I_{n}=\displaystyle\int\displaystyle\frac{1}{(x^2+A)^n}dx$

$=\displaystyle\frac{x}{(x^2+A)^n}+2n\displaystyle\int \frac{x^2}{(x^2+A)^{n+1}} dx$

$=\displaystyle\frac{x}{(x^2+A)^n}+2n\displaystyle\int \frac{x^2+A-A}{(x^2+A)^{n+1}} dx$

$=\displaystyle\frac{x}{(x^2+A)^n}+2n\Biggr\lbrace\displaystyle\int\frac{1}{(x^2+A)^{n}}dx-\displaystyle\int\frac{A}{(x^2+A)^{n+1}}dx\Biggr\rbrace$

$=\displaystyle\frac{x}{(x^2+A)^n}+2n(I_{n}-AI_{n+1})$

$\Leftrightarrow 2nAI_{n+1}=\displaystyle\frac{x}{(x^2+A)^n}+(2n-1)I_{n}$

$\Leftrightarrow I_{n+1}=\displaystyle\frac{1}{2nA}\Biggr\lbrace\displaystyle\frac{x}{(x^2+A)^n}+(2n-1)I_{n}\biggr\rbrace$

$n+1$を$n$、$n$を$n-1$とすると、$n\geq2$となるから、

$I_{n}=\displaystyle\frac{1}{2(n-1)A}\Biggr\lbrace\displaystyle\frac{x}{(x^2+A)^{n-1}}+(2n-3)I_{n-1}\Biggr\rbrace$　$n\geq2$

2.2.1. 実際に確かめる

$\displaystyle\int\frac{1}{(x^2+1)^2}dx$を求めた漸化式を用いて計算します。

まず、$A=1$の時の、$I_{1}$を求めます。

$I_{1}=\displaystyle\int\frac{1}{x^2+1}dx$

$=\tan^{-1}x$

$I_{2}=\displaystyle\frac{1}{2} \left(\displaystyle\frac{x}{x^2+1}+I_{1}\right)$

$C$を積分定数とすると、

$I_{2}=\displaystyle\frac{1}{2} \left(\displaystyle\frac{x}{x^2+1}+\tan^{-1}x\right)+C$