集合における直積とは何か？その概念と応用例

1. 直積とは

直積 (Cartesian product) は、数学および特に集合論において、二つ以上の集合からなる新しい集合を作る操作です。具体的には、直積は各集合の要素の組み合わせをすべて含む集合を生成します。

ふゅか

直積っていうのは、二つ以上の集合から新しい集合を作る操作なの。

はるか

具体的には、各集合の要素の組み合わせを全部含む集合を作る。

1.1. 直積の定義

ここで、\( (a, b) \) は順序対と呼ばれ、最初の要素 \( a \) が集合 \( A \) から、二番目の要素 \( b \) が集合 \( B \) から選ばれたものであることを示します。

1.2. 直積の例

\( A = \{1, 2\} \) と \( B = \{x, y\} \) の場合は次のようになります。

\[ A \times B = \{ (1, x), (1, y), (2, x), (2, y) \} \]

\( C = \{a, b, c\} \) と \( D = \{1, 2\} \) の直積は次のようになります。

\[ C \times D = \{ (a, 1), (a, 2), (b, 1), (b, 2), (c, 1), (c, 2) \} \]

1.3. 高次元の直積

はるか

直積は二つ以上の集合にも拡張できる。

直積は二つ以上の集合にも拡張できます。例えば、集合 \( A \)、\( B \)、\( C \) の三つの集合の直積は次のように定義されます。

\[ A \times B \times C = \{ (a, b, c) \mid a \in A, b \in B, c \in C \} \]

このように、直積の概念は複数の次元にわたるデータや構造を扱う際に非常に有用です。