更新:2024/09/18
集合における直積とは何か?その概念と応用例


ふゅか
今日は直積について話そうと思うんだけど、どうかな?

はるか
いいね、直積は面白い。
1. 直積とは
直積 (Cartesian product) は、数学および特に集合論において、二つ以上の集合からなる新しい集合を作る操作です。具体的には、直積は各集合の要素の組み合わせをすべて含む集合を生成します。

ふゅか
直積っていうのは、二つ以上の集合から新しい集合を作る操作なの。

はるか
具体的には、各集合の要素の組み合わせを全部含む集合を作る。
1.1. 直積の定義
二つの集合 と があるとします。これらの直積 は次のように定義されます。
ここで、 は順序対と呼ばれ、最初の要素 が集合 から、二番目の要素 が集合 から選ばれたものであることを示します。
1.2. 直積の例
と の場合は次のようになります。
と の直積は次のようになります。
1.3. 高次元の直積

はるか
直積は二つ以上の集合にも拡張できる。
直積は二つ以上の集合にも拡張できます。例えば、集合 、、 の三つの集合の直積は次のように定義されます。
このように、直積の概念は複数の次元にわたるデータや構造を扱う際に非常に有用です。
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