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更新:2024/09/18

集合における直積とは何か?その概念と応用例

ふゅか
ふゅか
今日は直積について話そうと思うんだけど、どうかな?
はるか
はるか
いいね、直積は面白い。

1. 直積とは

直積 (Cartesian product) は、数学および特に集合論において、二つ以上の集合からなる新しい集合を作る操作です。具体的には、直積は各集合の要素の組み合わせをすべて含む集合を生成します。

ふゅか
ふゅか
直積っていうのは、二つ以上の集合から新しい集合を作る操作なの。
はるか
はるか
具体的には、各集合の要素の組み合わせを全部含む集合を作る。

1.1. 直積の定義

二つの集合 A A B B があるとします。これらの直積 A×B A \times B は次のように定義されます。

A×B={(a,b)aA,bB} A \times B = \{ (a, b) \mid a \in A, b \in B \}

ここで、(a,b) (a, b) は順序対と呼ばれ、最初の要素 a a が集合 A A から、二番目の要素 b b が集合 B B から選ばれたものであることを示します。

1.2. 直積の例

A={1,2} A = \{1, 2\} B={x,y} B = \{x, y\} の場合は次のようになります。

A×B={(1,x),(1,y),(2,x),(2,y)} A \times B = \{ (1, x), (1, y), (2, x), (2, y) \}

C={a,b,c} C = \{a, b, c\} D={1,2} D = \{1, 2\} の直積は次のようになります。

C×D={(a,1),(a,2),(b,1),(b,2),(c,1),(c,2)} C \times D = \{ (a, 1), (a, 2), (b, 1), (b, 2), (c, 1), (c, 2) \}

1.3. 高次元の直積

はるか
はるか
直積は二つ以上の集合にも拡張できる。

直積は二つ以上の集合にも拡張できます。例えば、集合 A A B B C C の三つの集合の直積は次のように定義されます。

A×B×C={(a,b,c)aA,bB,cC} A \times B \times C = \{ (a, b, c) \mid a \in A, b \in B, c \in C \}

このように、直積の概念は複数の次元にわたるデータや構造を扱う際に非常に有用です。

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