微分積分学
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コーシーの平均値の定理の証明、イメージと具体例について
コーシーの平均値の定理とは コーシーの平均値の定理 または、次のような形で計算することができる。 \[ (f(b) – f(a))g'(c) = (g(b) – g(a))f'(c) \] 直感的なイ …
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平均値の定理の証明、イメージと具体例について
平均値の定理 平均値の定理は、ある関数がある区間で連続かつその内部で微分可能である場合、その区間のどこかに関数の平均変化率とその瞬間の変化率が一致する点が存在することを示しています。 直感的なイメージ …
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ボルツァーノ＝ワイエルシュトラスの定理の証明と具体例について
ボルツァーノ＝ワイエルシュトラスの定理 定理の要点 有界性： 数列 \((x_n)\) が有界であるとは、すべての \( n \) に対して \( |x_n| \leq M \) となるような定数 \ …
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最大値・最小値の定理の証明、イメージと具体例について
最大値・最小値の定理とは 直感的なイメージ 最大値・最小値の定理の直感的なイメージは、山と谷のように連続したグラフが閉区間内にある場合、そのグラフの中で必ず一番高いところ（最大値）と一番低いところ（最 …
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部分列の定義・イメージや具体例について
部分列とは 部分列を作る際には、元の列における要素の順序を変えずに抜き出す必要がありますが、抜き出す要素が連続している必要はありません。 部分列のイメージ 例えば、元の列が \( a_1, a_2, …
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部分積分の導出・計算問題について
部分積分とは 部分積分の公式 部分積分の公式の導出 積の微分法則は次のように表されます。 \[ \frac{d}{dx} \left( f(x) g(x) \right) = f'(x) g(x) + …
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トレフォイロイド曲線の面積、弧長、アニメーションについて
トレフォイロイド曲線とは アニメーション トレフォイロイドは、内側の円が外側の円のちょうど3倍の半径を持つときに形成される特別なエピサイクロイドです。 定円と動く円の半径の比が1:1のとき、カージオイ …
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数列と関数、集合の有界・上界・下界の定義・具体例・例題について
有界な集合 上界 上界の最小値を上限といいます。 下界 下界の最大値を下限といいます。 有界 有界な集合の例題 例題1 集合 \( A \) の要素は \( x < 5 \) なので、任意の \ …