微分積分学
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ウォリス積分の偶奇・計算問題・極限について
ウォリス積分とは 偶数 \(n\) の場合 ここで、「\( !! \)」は二重階乗を表します。二重階乗とは、元の数の同じ偶奇性を持つすべての整数の積を意味します。例えば、\(n\) が偶数の場合、\( …
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ウォリスの公式の定義・証明・三角関数の無限乗積展開について
ウォリスの公式とは $\displaystyle\prod_{n=1}^{\infty} \frac{(2n)^2}{(2n+1)(2n-1)}$ を具体的に書くと次のようになります。 \[ \fra …
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ガウス積分の計算方法・公式・定義・性質について
ガウス積分とは ガウス積分の証明 定積分の計算結果を$I$と置きます。 \[ I = \int_{-\infty}^{\infty} e^{-x^2} \, dx \] 次のような重積分を考えます。 …
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ダランベールの判定法の定義・例題・性質について
ダランベールの判定法とは ダランベールの判定法は無限級数の収束性を調べるための手法です。特に、この判定法は正項級数に適用されます。ここでの「正項級数」とは、級数の全ての項が非負の数であるという意味です …
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偶関数と奇関数の積の性質を理解しよう
偶関数と奇関数の積の性質 偶関数と奇関数の積には興味深い性質があります。以下にそれぞれの性質を詳しく説明します。 偶関数と奇関数については次の記事で解説しています。 https://www.math- …
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偶関数と奇関数の定義・積分の性質・具体例についてわかりやすく解説
偶関数 偶関数の例 \( f(x) = x^2 \) \( f(x) = \cos(x) \) 奇関数 奇関数の例 \( f(x) = x^3 \) \( f(x) = \sin(x) \) 偶関数と …
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バーゼル問題とフーリエ級数展開の関係！π^2/6 への旅
バーセル問題とは フーリエ級数展開の利用 まず、次の関数を考えます。 \[ f(x) = x^2 \] この関数のフーリエ級数展開を考えます。ただし、区間 \([-π, π]\) で定義されているとし …
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1/(x^3+1)の積分の具体的な解法について
積分の問題 必要な知識 部分分数分解 逆三角関数（arctan） 積分の解法 部分分数分解 関数 \( \dfrac{1}{x^3+1} \) の積分を求めるには、まず分母 \( x^3 + 1 \) …