線形代数
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可換な行列の定義・具体例・性質・計算問題について
可換な行列とは 可換な行列の具体例 スカラー行列と任意の行列 スカラー行列 \( kI \) （\( I \) は単位行列）と任意の行列 \( A \) は常に可換です。すなわち、次の式が成り立ちます …
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PythonのSymPyを使った行列式の計算方法
行列式の計算 SymPyを使用して行列の行列式を計算することができます。 基本的な使用例 まず、SymPyを使用して2×2行列の行列式を計算する例を示します。 import sympy as sp # …
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QR分解とグラムシュミットの直交化法・定義・例題・計算方法について
QR分解とは ここで、 \(Q\) は \(m \times n\) 行列で、列ベクトルが直交する（つまり、\(Q^T Q = I\) となる）行列です。ただし、n×n行列になる場合は直交行列となる。 …
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直交行列の定義・性質・具体例・計算問題について
直交行列 \( U \) の定義 ここで、\( U^T \) は行列 \( U \) の転置行列、\( I \) は単位行列です。 直交行列の具体例 直交行列 \( U \) の具体例をいくつか示しま …
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固有値の積と行列式・計算問題・固有値計算の検算テクニックについて
固有値の積と行列式 行列の固有値と行列式 行列 \( A \) の固有値とは、次の固有値方程式を満たすスカラー \( \lambda \) のことです。 \[ A \mathbf{v} = \lamb …
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正則行列・逆行列の性質と具体例について
正則行列とは ここで、\( I \) は単位行列（全ての対角成分が1で、その他の成分が0の行列）です。逆行列 は通常、\( A^{-1} \) と表記されます。 正則行列の性質 行列 \( A \) …
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二次形式と標準形、最大値最小値について
二次形式の定義 線形代数において、二次形式は特定の形を持つ関数で、主にベクトルと行列を使って表されます。二次形式の一般的な定義は次のようになります。 ここで、$\mathbf{x} = \begin{ …
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冪零行列の具体例と性質について解説
冪零行列とは 冪零行列（べきれいぎょうれつ、nilpotent matrix）とは、ある整数 \( k \) に対して、その行列を \( k \) 回自乗（自分自身を掛ける）すると零行列（全ての要素が …