コーシー列の意味、収束列の関係と例題について
1. コーシー列
コーシー列（Cauchy sequence）とは、数列の収束に関する概念の一つです。具体的には、ある数列 \( \{a_n\} \) がコーシー列であるとは、次の条件を満たすことを意味します。
数列 \( \{a_n\} \) がコーシー列であるとは、任意の正の実数 \( \epsilon > 0 \) に対して、ある自然数 \( N \) が存在し、すべての \( m, n \geq N \) に対して次の不等式が成り立つ。
\[ |a_n – a_m| < \epsilon \]
つまり、数列 \( \{a_n\} \) の項同士の距離が、数列が進むにつれてどんどん小さくなり、最終的には任意に小さくできるということです。
1.1. 量化記号を利用した表記
コーシー列を量化記号を用いて表現すると、次のようになります。
数列 \( \{a_n\} \) がコーシー列であるとは、
\[ \forall \epsilon > 0, \ \exists N \in \mathbb{N}, \ \forall m, n \geq N \implies \ |a_n – a_m| < \epsilon \]
という条件を満たすことを意味します。
- \( \forall \epsilon > 0 \): 任意の正の実数 \( \epsilon \) に対して、
- \( \exists N \in \mathbb{N} \): ある自然数 \( N \) が存在し、
- \( \forall m, n \geq N \): すべての \( m, n \) が \( N \) 以上のとき、
- \( |a_n – a_m| < \epsilon \): \( a_n \) と \( a_m \) の距離が \( \epsilon \) よりも小さい。
2. コーシー列と収束列の関係
「コーシー列 ⇔ 収束列」が成り立つ。
2.1. 意味
- 収束列・・・数列 \( a_n \) がある値 \( a \in \mathbb{R} \) に収束するとは、 \[ \forall \varepsilon > 0, \exists N \in \mathbb{N}, \forall n \geq N \implies |a_n – a| < \varepsilon \] となること。
- コーシー列・・・数列 \( a_n \) がコーシー列であるとは、 \[ \forall \varepsilon > 0, \exists N \in \mathbb{N}, \forall m, n \geq N \implies |a_n – a_m| < \varepsilon \] となること。
2.2. 証明1：収束列 ⇒ コーシー列
\( \displaystyle\lim_{n\to\infty}a_n = a \) と仮定します。任意の \( \varepsilon > 0 \) に対して、 \[ \exists N \in \mathbb{N}, \forall n \geq N,\ |a_n – a| < \varepsilon/2 \] とできるので、\( m, n \geq N \) に対して三角不等式より \[ |a_n – a_m| \leq |a_n – a| + |a – a_m| < \varepsilon/2 + \varepsilon/2 = \varepsilon \] したがってコーシー列です。
2.3. 証明2：コーシー列 ⇒ 収束列
実数列 \( (a_n) \) がコーシー列であると仮定する。つまり、
\[ \forall \varepsilon > 0,\ \exists N \in \mathbb{N},\ \forall m, n \geq N,\ |a_n – a_m| < \varepsilon \]
を満たすとする。任意の \( \varepsilon > 0 \) に対して、ある \( N \in \mathbb{N} \) が存在し、\( n \geq N \) に対して
\[ |a_n – a_N| < \varepsilon \]
が成り立つ。三角不等式を用いると、
\[ |a_n| \leq |a_n – a_N| + |a_N| < \varepsilon + |a_N| \quad (\text{for } n \geq N) \]
したがって、全体の列に対して以下のように上界を定められる：
\[ M = \max\left\{ |a_1|, |a_2|, \dots, |a_{N-1}|, |a_N| + \varepsilon \right\} \]
とおけば、すべての \( n \in \mathbb{N} \) に対して \( |a_n| \leq M \) が成り立つ。よって、列 \( (a_n) \) は有界である。
実数列が有界であることから、ボルツァーノ＝ワイエルシュトラスの定理より、収束する部分列が存在する。よって、ある部分列 \( (a_{n_k}) \) が存在して、
\[ \lim_{k \to \infty} a_{n_k} = \alpha \quad (\alpha \in \mathbb{R}) \]
となる。任意の \( \varepsilon > 0 \) を取る。
- コーシー列であることから、ある \( N \in \mathbb{N} \) が存在して、\[ m, n \geq N \Rightarrow |a_n – a_m| < \varepsilon \]
- また、部分列 \( a_{n_k} \to \alpha \) なので、ある \( K \in \mathbb{N} \) が存在して、\[ k \geq K \Rightarrow |a_{n_k} – \alpha| < \varepsilon \]
ここで、\( N’ = \max\{N, n_K\} \) とおく。
任意の \( n \geq N’ \) に対して、\( a_{n_k} \) の中に \( n_k \geq N’ \) を満たす項が存在する。したがって、
\[ |a_n – \alpha| \leq |a_n – a_{n_k}| + |a_{n_k} – \alpha| < \varepsilon + \varepsilon = 2\varepsilon \]
これは、任意の \( \varepsilon > 0 \) に対して \( |a_n – \alpha| < 2\varepsilon \) が成り立つことを意味する。よって、
\[ \lim_{n \to \infty} a_n = \alpha \]
すなわち、コーシー列 \( (a_n) \) は実数 \(\alpha\) に収束する。
3. 例題
$a_n=\dfrac{1}{n}$はコーシー列であることを証明せよ。
任意に正の実数 \(\varepsilon > 0\) を与えられたときに，コーシー列の定義を満たすような \(N\) を指定すればよいことになります。
そこで，\(\displaystyle N > \frac{2}{\varepsilon}\) となるような自然数 \(N\) を一つ固定します。このとき，\(m,n \ge N\) を任意にとると，三角不等式などを用いて次のように評価できます：
\[ \bigl|a_m – a_n\bigr| = \Bigl|\frac{1}{m} – \frac{1}{n}\Bigr| \le \frac{1}{m} + \frac{1}{n} \le \frac{1}{N} + \frac{1}{N} = \frac{2}{N}. \]
ここで，\(N\) を \(\frac{2}{\varepsilon}\) より大きく選んでいるため，\(\frac{2}{N} < \varepsilon\) となります。したがって
\[ |a_m – a_n| < \varepsilon \]
が成り立つことがわかります。以上より，いかなる \(\varepsilon > 0\) に対しても対応する \(N\) を選ぶことができるので，\( \left(\frac{1}{n}\right) \) はコーシー列になります。
