コーシーの平均値の定理の証明、イメージと具体例について

はるか

コーシーの平均値の定理、難しそうに見えるけど、結構重要。

ふゅか

そうね！特に関数の変化の割合を比べる時に使えるのよね。でも、まずはこの定理が何を言ってるのか理解することが大事ね！

1. コーシーの平均値の定理とは

1.1. コーシーの平均値の定理

または、次のような形で計算することができる。

\[ (f(b) – f(a))g'(c) = (g(b) – g(a))f'(c) \]

1.2. 直感的なイメージ

この定理は、関数 \( f \) と \( g \) のグラフが区間 \([a, b]\) においてどのように変化するかを表現しています。この定理を用いると、関数 \( f \) の変化量と関数 \( g \) の変化量の比率が、ある点 \( c \) での接線の傾きの比率に等しいということが示されます。

1.3. 例

はるか

ふむ、この定理では、ある区間での2つの関数 \( f(x) \) と \( g(x) \) の変化の比が、ある点 \( c \) での接線の傾きの比になるんだ。

ふゅか

そうそう、例えば \( f(x) = x^2 \) と \( g(x) = x + 1 \) の場合、それぞれの区間での変化量の比が接線の傾きの比と一致するのよ！具体的に考えてみるとイメージしやすいわね。

関数 \( f(x) = x^2 \) と \( g(x) = x + 1 \) を区間 \([1, 3]\) で考えます。

\( f(x) = x^2 \) と \( g(x) = x + 1 \) は両方とも区間 \([1, 3]\) で連続で、\((1, 3)\) で微分可能です。

微分を計算すると次のようになります。

• \( f'(x) = 2x \)
• \( g'(x) = 1 \)

コーシーの平均値の定理によれば、ある \( c \in (1, 3) \) が存在して次の関係が成り立ちます。

\[ \frac{f'(c)}{g'(c)} = \frac{f(3) – f(1)}{g(3) – g(1)} \]

それぞれの関数の値を計算すると次のようになります。

• \( f(3) = 3^2 = 9 \)
• \( f(1) = 1^2 = 1 \)
• \( g(3) = 3 + 1 = 4 \)
• \( g(1) = 1 + 1 = 2 \)

これを用いて、右辺を計算します。

\[ \frac{f(3) – f(1)}{g(3) – g(1)} = \frac{9 – 1}{4 – 2} = \frac{8}{2} = 4 \]

$\frac{f'(c)}{g'(c)}$は次のようになります。

\[ \frac{f'(c)}{g'(c)} = \frac{2c}{1} = 2c \]

このとき、

\[ 2c = 4 \]

\[ c = 2 \]

よって、\( c = 2 \) は区間 \((1, 3)\) に含まれるので、コーシーの平均値の定理の条件を満たしています。

2. 証明

コーシー平均値の定理の証明は、ロルの定理を利用して行います。

2.1. ロルの定理

はるか

ロルの定理は、ある関数が閉区間で連続で開区間で微分可能で、両端の値が同じなら、その間に微分係数がゼロになる点があるってこと。

ふゅか

新しい関数 \( h(x) \) を定義して、$h(x)$がロルの定理を満たすか調べるわ！

2.2. 証明

新しい関数 \( h(x) \) を次のように定義します。

\[ h(x) = f(x) – \frac{f(b) – f(a)}{g(b) – g(a)} \cdot g(x)\]

この関数 \( h(x) \) は、区間 \([a, b]\) で連続であり、\((a, b)\) で微分可能です。

\( h(a) \) と \( h(b) \) を計算します。

\[ h(a) = f(a) – \frac{f(b) – f(a)}{g(b) – g(a)} \cdot g(a) \]

\[ h(b) = f(b) – \frac{f(b) – f(a)}{g(b) – g(a)} \cdot g(b) \]

この2つの値が等しいことを確認します。

\[ h(b) – h(a) = \left( f(b) – \frac{f(b) – f(a)}{g(b) – g(a)} \cdot g(b) \right) – \left( f(a) – \frac{f(b) – f(a)}{g(b) – g(a)} \cdot g(a) \right)\]

\[ = f(b) – f(a) – \frac{f(b) – f(a)}{g(b) – g(a)} \cdot (g(b) – g(a)) \]

\[ = f(b) – f(a) – (f(b) – f(a)) = 0 \] よって、\( h(a) = h(b) \) です。

区間 \([a, b]\) で連続で、\((a, b)\) で微分可能な関数 \( h(x) \) は、\( h(a) = h(b) \) であるため、少なくとも1つの点 \( c \in (a, b) \) が存在して \( h'(c) = 0 \) となります。\( h'(x) \) を計算します。

\[ h'(x) = f'(x) – \frac{f(b) – f(a)}{g(b) – g(a)} \cdot g'(x) \]

ロルの定理から、\( c \in (a, b) \) が存在して、次が成り立ちます。

\[ h'(c) = f'(c) – \frac{f(b) – f(a)}{g(b) – g(a)} \cdot g'(c) = 0 \]

この式を \( \frac{f(b) – f(a)}{g(b) – g(a)} \) について解くと、

\[ f'(c) = \frac{f(b) – f(a)}{g(b) – g(a)} \cdot g'(c) \]

よって、

\[ \frac{f'(c)}{g'(c)} = \frac{f(b) – f(a)}{g(b) – g(a)} \]