更新:2025/02/02

特性関数の意味と性質について

$はるか$

はるか

特性関数って何？

$ふゅか$

ふゅか

具体的には、確率変数 $ X $ に関して $ \varphi_X(t) = \mathbb{E}[e^{itX}] $ で定義されるの。期待値をとることで、確率分布を別の視点から見られるのよ！

1. 特性関数の定義

確率変数 $X$ の特性関数 $\varphi_X(t)$ は、以下の式で定義されます：

\[ \varphi_X(t) = \mathbb{E}[e^{itX}] \]

ここで、

確率密度関数 $ f_X(x) $ を持つ場合、特性関数は次の積分で表されます：

\[ \varphi_X(t) = \int_{-\infty}^{\infty} e^{itx} f_X(x) dx \]

特性関数の微分を用いることで、確率変数のモーメント（期待値や分散など）が求められます。例えば、1階の微分を $ t = 0 $ で評価すると期待値が得られます：

\[ \varphi_X'(0) = i\mathbb{E}[X] \]

また、2階の微分を $ t = 0 $ で評価すると、分散が得られます：

\[ \varphi_X”(0) = -\mathbb{E}[X^2] \]

確率変数 $ X $ と $ Y $ が独立ならば、それらの和 $ X + Y $ の特性関数は、個々の特性関数の積になります。

\[ \varphi_{X+Y}(t) = \varphi_X(t) \varphi_Y(t) \]

この性質は、確率分布の畳み込みと関係があります。

特定の確率分布の特性関数は、以下のようになります。

正規分布 $ N(\mu, \sigma^2) $\[ \varphi_X(t) = e^{i\mu t - \frac{1}{2} \sigma^2 t^2} \]
一様分布 $ U(a, b) $\[ \varphi_X(t) = \frac{e^{itb} - e^{ita}}{it(b - a)} \]
ポアソン分布 $ \text{Poisson}(\lambda) $\[ \varphi_X(t) = e^{\lambda (e^{it} - 1)} \]