更新:2025/02/02
特性関数の意味と性質について


はるか
特性関数って何?

ふゅか
具体的には、確率変数 \( X \) に関して \( \varphi_X(t) = \mathbb{E}[e^{itX}] \) で定義されるの。期待値をとることで、確率分布を別の視点から見られるのよ!
1. 特性関数の定義
確率変数 \(X\) の特性関数 \(\varphi_X(t)\) は、以下の式で定義されます:
\[ \varphi_X(t) = \mathbb{E}[e^{itX}] \]
ここで、
- \( t \) は実数(または複素数)、
- \( i \) は虚数単位 (\( i^2 = -1 \))、
- \( \mathbb{E} \) は期待値を表します。
確率密度関数 \( f_X(x) \) を持つ場合、特性関数は次の積分で表されます:
\[ \varphi_X(t) = \int_{-\infty}^{\infty} e^{itx} f_X(x) dx \]
2. 特性関数の性質
2.1. 期待値や分散
特性関数の微分を用いることで、確率変数のモーメント(期待値や分散など)が求められます。 例えば、1階の微分を \( t = 0 \) で評価すると期待値が得られます:
\[ \varphi_X'(0) = i\mathbb{E}[X] \]
また、2階の微分を \( t = 0 \) で評価すると、分散が得られます:
\[ \varphi_X”(0) = -\mathbb{E}[X^2] \]
2.2. 独立な確率変数の和に対する性質
確率変数 \( X \) と \( Y \) が独立ならば、それらの和 \( X + Y \) の特性関数は、個々の特性関数の積になります。
\[ \varphi_{X+Y}(t) = \varphi_X(t) \varphi_Y(t) \]
この性質は、確率分布の畳み込みと関係があります。
2.3. 特定の分布の特性関数
特定の確率分布の特性関数は、以下のようになります。
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