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更新:2024/10/13

【図解】外接円と三角形の面積の関係式について

ふゅか
ふゅか
今回は三角形の外接円と面積について話すわね。結構面白いテーマだと思う!
はるか
はるか
そうだね、特に外接円半径$R$と三角形の面積$S$の関係式。

1. 外接円と三角形の面積

$a$、$b$、$c$は三角形の辺の長さであり、$R$はその三角形を外接する円の半径、$S$を三角形の面積とすると、

$$S=\dfrac{abc}{4R}$$

外接円と三角形

2. 証明

sinを用いて三角形の面積を求めると、

$$S=\dfrac{ab}{2}\sin C$$

正弦定理より、外接円の半径を$R$とすると、

$$\dfrac{c}{\sin C}=2R$$

$$\therefore \sin C = \dfrac{c}{2R}$$

よって、三角形の面積に$\sin C$を代入すると、

$$S=\dfrac{abc}{4R}$$

となる。

3. 外接円と三角形の面積の例題

三角形の辺の長さをそれぞれ$a,b,c$とする。このとき、

\[ \begin{align*} a + b + c &= 3 \\ ab + bc + ca &= 3\\ abc &= 1 \end{align*} \]

を満たすとき、三角形の外接円の半径を求めよ。

解と係数の関係より、以下のような三次方程式を作ることができる。

\[ \begin{align*} x^3 - 3x^2 + 3x - 1 &= 0 \\ (x - 1)^3 &= 0 \end{align*} \]

となるため、$x=1$で三重解を持つため、$a=b=c=1$となる。三角形の面積Sを求めると、

\[ \begin{align*} S &= \dfrac{1}{2} \cdot 1 \cdot 1 \sin \dfrac{\pi}{6} \\ &= \dfrac{\sqrt{3}}{4} \end{align*} \]

となる。したがって、外接円の半径は、

\[ \begin{align*} R &= \dfrac{abc}{4S} \\ &= \dfrac{1}{\sqrt{3}} \end{align*} \]

となる。

4. 余談

ヘロンの公式と組み合わせると、三角形の面積は

$$R=\dfrac{abc}{4\sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)}}$$

とまとめることができます。

$s$は次のように定義されます。

$s = \dfrac{a+b+c}{2}$

はるか
はるか
ヘロンの公式と組み合わせてみる。

4.1. ヘロンの公式の例題

辺の長さが $a = 3$、$b = 4$、$c = 5$ の三角形の場合、外接円の半径$R$を求めよ。

$s = \dfrac{3+4+5}{2} = 6$ となります。三角形の面積をヘロンの公式で求めると

$S = \sqrt{6(6-3)(6-4)(6-5)} = 6$

となります。最後に、外接円の半径を計算すると、

$R = \dfrac{3\times4\times5}{4\times6} = \dfrac{5}{2}$

となります。

三平方の定理が成り立つため、直径が$c$となり$R=\dfrac{c}{2}= \dfrac{5}{2}$と求めることもできます。

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