【図解】外接円と三角形の面積の関係式について
1. 外接円と三角形の面積
$$S=\dfrac{abc}{4R}$$
2. 証明
sinを用いて三角形の面積を求めると、
$$S=\dfrac{ab}{2}\sin C$$
正弦定理より、外接円の半径を$R$とすると、
$$\dfrac{c}{\sin C}=2R$$
$$\therefore \sin C = \dfrac{c}{2R}$$
よって、三角形の面積に$\sin C$を代入すると、
$$S=\dfrac{abc}{4R}$$
となる。
3. 外接円と三角形の面積の例題
\[ \begin{align*} a + b + c &= 3 \\ ab + bc + ca &= 3\\ abc &= 1 \end{align*} \]
を満たすとき、三角形の外接円の半径を求めよ。
解と係数の関係より、以下のような三次方程式を作ることができる。
\[ \begin{align*} x^3 - 3x^2 + 3x - 1 &= 0 \\ (x - 1)^3 &= 0 \end{align*} \]
となるため、$x=1$で三重解を持つため、$a=b=c=1$となる。三角形の面積Sを求めると、
\[ \begin{align*} S &= \dfrac{1}{2} \cdot 1 \cdot 1 \sin \dfrac{\pi}{6} \\ &= \dfrac{\sqrt{3}}{4} \end{align*} \]
となる。したがって、外接円の半径は、
\[ \begin{align*} R &= \dfrac{abc}{4S} \\ &= \dfrac{1}{\sqrt{3}} \end{align*} \]
となる。
4. 余談
$s$は次のように定義されます。
$s = \dfrac{a+b+c}{2}$
4.1. ヘロンの公式の例題
$s = \dfrac{3+4+5}{2} = 6$ となります。三角形の面積をヘロンの公式で求めると
$S = \sqrt{6(6-3)(6-4)(6-5)} = 6$
となります。最後に、外接円の半径を計算すると、
$R = \dfrac{3\times4\times5}{4\times6} = \dfrac{5}{2}$
となります。
