目次
円の方程式
中心$\left( a,b\right)$、半径$r$の円の方程式
$\large\left( x-a\right) ^{2}+\left( y-b\right) ^{2}=r^{2}$
導出
$ PA=r, \ P(x,y)$より、
$ PA^2=r^2$
$\Leftrightarrow\left( x-a\right) ^{2}+\left( y-b\right) ^{2}=r^{2}$
円の方程式の一般形
円の方程式の一般形とその条件は
$x^2+y^2+lx+my+n=0$
$\dfrac{l^2+m^2-4n}{4}>0$
条件の導出
$x,y$に関して平方完成を行うと、
$\left(x+\dfrac{l}{2}\right)^{2}-\dfrac{l^2}{4}+\left(y+\dfrac{m}{2}\right)^{2}-\dfrac{m^2}{4}+n=0$$\therefore\left(x+\dfrac{l}{2}\right)^{2}+\left(y+\dfrac{m}{2}\right)^{2}=\dfrac{l^2+m^2-4n}{4}$
となり、左辺は二乗の和だから、
$\left(x+\dfrac{l}{2}\right)^{2}+\left(x+\dfrac{m}{2}\right)^{2}>0$左辺が正であるため、右辺も正であることがわかる。したがって、
$\dfrac{l^2+m^2-4n}{4}>0$
場合分け
$\dfrac{l^2+m^2-4n}{4}>0$のとき、
中心$(-\dfrac{l}{2},-\dfrac{m}{2})$、半径$\dfrac{\sqrt{l^{2}+m^{2}-4n}}{2}$の円を表す。
$\dfrac{l^2+m^2-4n}{4}=0$のとき、
$(-\dfrac{l}{2},-\dfrac{m}{2})$の点を表す。
$\dfrac{l^2+m^2-4n}{4}<0$のとき、
表す図形はなし。
その他
媒介変数表示
中心$\left( a,b\right)$、半径$r$の円上の点$P(x,y)$とすると、
$x=r\cos \theta +a$
$y=r\sin \theta +b$
$x=r\cos \theta +a$
$y=r\sin \theta +b$
計算
$PA^2$に媒介変数表示された$x,y$を代入すると、
$\left( r\cos \theta +a-a\right) ^{2}+\left( r\sin \theta +b-b\right) ^{2}$$=r^2\cos^2 \theta +r^2\sin^2 \theta$
$=r^2\left(\cos^2\theta +\sin^2 \theta \right)$
$=r^2$
単位円
$a=0,b=0,r=1$のとき単位円を表す。
$x^2+y^2=1$
$x=\cos\theta,y=\sin\theta$