条件付き確率の定義、例題について
1. 条件付き確率
条件付き確率（conditional probability）とは、ある事象が起こるという条件の下で、別の事象が起こる確率を表す概念です。事象 \( A \) が起こるという条件のもとで事象 \( B \) が起こる確率を条件付き確率と呼び、 \( P(B|A) \) と表します。\( P(B|A) \) は「A が起こったときに B が起こる確率」を意味します。A givenと読むことがあります。
条件付き確率は次の公式で定義されます。
\[ P(B|A) = \frac{P(A \cap B)}{P(A)} \]
ここで、
- \( P(A \cap B) \) は事象 \( A \) と事象 \( B \) が同時に起こる確率です。
- \( P(A) \) は事象 \( A \) が起こる確率です。
1.1. 条件付き確率の例題
- 事象 \( A \)：最初のコイン投げで表が出る。
- 事象 \( B \)：2回目のコイン投げで表が出る。
このとき、$P(A|B)$と$P(B|A)$を求めよ。
各コイン投げの結果は独立しているため、それぞれの事象の確率は \( P(A) = \frac{1}{2} \) であり、 \( P(B) = \frac{1}{2} \) です。また、2回のコイン投げでどちらも表が出る確率は \( P(A \cap B) = \frac{1}{2} \times \frac{1}{2} = \frac{1}{4} \) です。
このとき、条件付き確率 \( P(B|A) \) は次のように計算されます。
\[ P(B|A) = \frac{P(A \cap B)}{P(A)} = \frac{\frac{1}{4}}{\frac{1}{2}} = \frac{1}{2} \]
また、条件付き確率 \( P(A|B) \) は次のように計算されます。
\[ P(A|B) = \frac{P(A \cap B)}{P(B)} = \frac{\frac{1}{4}}{\frac{1}{2}} = \frac{1}{2} \]
2. 条件付き確率の応用例
2.1. ベイズの定理 (Bayes’ Theorem)
ベイズの定理は条件付き確率の応用例で、次のように表されます。
\[ P(A|B) = \frac{P(B|A) \cdot P(A)}{P(B)} \]
