共役な複素数の具体例・性質・例題について
1. 共役な複素数とは
\[ \overline{z} = a - bi \]
例えば、複素数 \( z = 3 + 4i \) の共役は \( \overline{z} = 3 - 4i \) です。
2. 共役な複素数の性質
1. $\overline{\alpha+\beta}=\overline{\alpha}+\overline{\beta}$
2. $\overline{\alpha-\beta}=\overline{\alpha}-\overline{\beta}$
3. $\overline{\alpha\beta}=\overline{\alpha}\cdot\overline{\beta}$
4. $\overline{\left(\displaystyle\frac{\alpha}{\beta}\right)}=\displaystyle\frac{\overline{\alpha}}{\overline{\beta}}$
5. $\overline{\overline{\alpha}}=\alpha$
2.1. 性質1の証明
$\overline{\alpha+\beta}$
$=\overline{a+c+i(b+d)}$
$=a-bi+c-di$
$=\overline{\alpha}+\overline{\beta}$
2.2. 性質2の証明
$\overline{\alpha-\beta}$
$=\overline{a-c+i(b-d)}$
$=a-bi-(c-di)$
$=\overline{\alpha}-\overline{\beta}$
2.3. 性質3・4の証明
$\overline{\alpha\beta}$
$=\overline{(a+bi)(c+di)}$
$=\overline{ac-bd+i(ad+bc)}$
$=ac-bd-(ad+bc)i$
$=(a-bi)(c-di)$
$=\overline{\alpha}\cdot\overline{\beta}$
3の性質を利用して４に使うと、
$\overline{\left(\displaystyle\frac{\alpha}{\beta}\right)}$
$=\overline{\alpha\beta^{-1}}$
$=\overline{\alpha}\cdot\overline{\beta^{-1}}$
$=\displaystyle\frac{\overline{\alpha}}{\overline{\beta}}$
2.4. 性質5の証明
$\overline{\overline{\alpha}}$
$=\overline{a-bi}$
$=a+bi$
$=\alpha$
3. 共役な複素数の練習問題
3.1. 共役な複素数の問題1
また、$a$と$b$を$\alpha$と$\overline\alpha$を用いて表せ。
$\alpha=a+bi$より、$\overline\alpha=a-bi$である。したがって、
$\alpha+\overline\alpha=2a$
$\alpha-\overline\alpha=2bi$
となる。$a,b$が実数であるから、$\alpha+\overline\alpha$は実数、$\alpha-\overline\alpha$は虚数であることがわかる。
$a$と$b$は、
$a=\displaystyle\frac{\alpha+\overline\alpha}{2}$
$b=\displaystyle\frac{\alpha-\overline\alpha}{2i}$
3.2. 共役な複素数の問題2
$a=\displaystyle\frac{\alpha+\overline\alpha}{2}$であるから、$\alpha=-\overline\alpha$のとき、
$a=0$となる。したがって、$b\neq0$のとき、
$\alpha=0+bi=bi$となり、$\alpha$は純虚数となる。
$b=\displaystyle\frac{\alpha-\overline\alpha}{2i}$であるから、$\alpha=\overline\alpha$のとき、
$b=0$となる。したがって
$\alpha=a+0=a$となり、$\alpha$は実数となる。
