更新:2024/10/02

共役な複素数の具体例・性質・例題について

はるか
はるか
共役な複素数っていろんな性質がある。和とか、差とか
ふゅか
ふゅか
そうね!共役な複素数の性質についてみていこう!

1. 共役な複素数とは

共役な複素数とは、複素数 \( z = a + bi \) に対して、実部はそのままで虚部の符号を反転させた複素数のことを指します。ここで、\( a \) は実部、\( b \) は虚部、\( i \) は虚数単位(\( i^2 = -1 \))です。共役な複素数 \( \overline{z} \) は次のように表されます。

\[ \overline{z} = a - bi \]

例えば、複素数 \( z = 3 + 4i \) の共役は \( \overline{z} = 3 - 4i \) です。

2. 共役な複素数の性質

$\alpha$、$\beta$を複素数とする。

1. $\overline{\alpha+\beta}=\overline{\alpha}+\overline{\beta}$

2. $\overline{\alpha-\beta}=\overline{\alpha}-\overline{\beta}$

3. $\overline{\alpha\beta}=\overline{\alpha}\cdot\overline{\beta}$

4. $\overline{\left(\displaystyle\frac{\alpha}{\beta}\right)}=\displaystyle\frac{\overline{\alpha}}{\overline{\beta}}$

5. $\overline{\overline{\alpha}}=\alpha$

はるか
はるか
証明するポイントは$\alpha=a+bi$、$\beta=c+di$と置くこと。
ふゅか
ふゅか
$\overline{\alpha}=a-bi$、$\overline{\beta}=c-di$となることに気を付けてね!

2.1. 性質1の証明

$\overline{\alpha+\beta}$

$=\overline{a+c+i(b+d)}$

$=a-bi+c-di$

$=\overline{\alpha}+\overline{\beta}$

2.2. 性質2の証明

$\overline{\alpha-\beta}$

$=\overline{a-c+i(b-d)}$

$=a-bi-(c-di)$

$=\overline{\alpha}-\overline{\beta}$

2.3. 性質3・4の証明

$\overline{\alpha\beta}$

$=\overline{(a+bi)(c+di)}$

$=\overline{ac-bd+i(ad+bc)}$

$=ac-bd-(ad+bc)i$

$=(a-bi)(c-di)$

$=\overline{\alpha}\cdot\overline{\beta}$

3の性質を利用して4に使うと、
$\overline{\left(\displaystyle\frac{\alpha}{\beta}\right)}$

$=\overline{\alpha\beta^{-1}}$

$=\overline{\alpha}\cdot\overline{\beta^{-1}}$

$=\displaystyle\frac{\overline{\alpha}}{\overline{\beta}}$

2.4. 性質5の証明

$\overline{\overline{\alpha}}$

$=\overline{a-bi}$

$=a+bi$

$=\alpha$

3. 共役な複素数の練習問題

3.1. 共役な複素数の問題1

$a、b$を実数とするとき、$\alpha=a+bi$とする。$\alpha+\overline\alpha$が実数、$\alpha-\overline\alpha$が純虚数であることを示せ。

また、$a$と$b$を$\alpha$と$\overline\alpha$を用いて表せ。

$\alpha=a+bi$より、$\overline\alpha=a-bi$である。したがって、

$\alpha+\overline\alpha=2a$

$\alpha-\overline\alpha=2bi$

となる。$a,b$が実数であるから、$\alpha+\overline\alpha$は実数、$\alpha-\overline\alpha$は虚数であることがわかる。

$a$と$b$は、

$a=\displaystyle\frac{\alpha+\overline\alpha}{2}$

$b=\displaystyle\frac{\alpha-\overline\alpha}{2i}$

はるか
はるか
この、aとbは問題2に使う。

3.2. 共役な複素数の問題2

問題1を用いて、$\alpha=\overline\alpha$のときは$\alpha$が実数となり、$\alpha=-\overline\alpha$のときは$\alpha$が純虚数となることを示せ。

$a=\displaystyle\frac{\alpha+\overline\alpha}{2}$であるから、$\alpha=-\overline\alpha$のとき、

$a=0$となる。したがって、$b\neq0$のとき、

$\alpha=0+bi=bi$となり、$\alpha$は純虚数となる。

$b=\displaystyle\frac{\alpha-\overline\alpha}{2i}$であるから、$\alpha=\overline\alpha$のとき、

$b=0$となる。したがって

$\alpha=a+0=a$となり、$\alpha$は実数となる。

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