連続型確率変数の期待値と分散・定義・例題について
1. 期待値
期待値は、確率変数の平均値、つまり「期待される値」を表します。
1.1. 連続型確率変数の期待値
ここでも、各値 \( x \) に対して、その確率密度 \( f(x) \) を掛けたものを全て積分して足し合わせます。
2. 分散
分散は、確率変数が期待値からどれだけ離れているかの平均的な尺度を示します。分散が大きいほど、データが広く散らばっていることを意味し、分散が小さいほどデータが集中していることを意味します。
2.1. 分散の定義
\[ V(X) = \mathbb{E}[(X - \mathbb{E}[X])^2] \]
2.2. 連続型確率変数の分散
また、
\[ V(X) = \int_{-\infty}^{\infty} x^2 \cdot f(x) \, dx - (\mathbb{E}[X])^2 \]
も使われます。
3. 例題
3.1. 問題1: パン屋さんのクロワッサン
\[ f(x) = \begin{cases} \frac{2}{25} x & 0 \leq x \leq 5 \\ 0 & \text{otherwise} \end{cases} \]
このパン屋さんで、ある日に焼かれるクロワッサンの個数の期待値と分散を求めなさい。
期待値 \( \mathbb{E}[X] \) は次の式で計算されます。
\[ \mathbb{E}[X] = \int_0^5 x f(x) dx = \int_0^5 x \frac{2}{25} x dx = \frac{2}{25} \int_0^5 x^2 dx \]
$\int_0^5 x^2 dx = \frac{125}{3}$より、
\[ E[X] = \frac{2}{25} \times \frac{125}{3} = \frac{250}{75} = \frac{10}{3} \approx 3.33 \]
したがって、期待値は約 \( 3.33 \) 個です。
分散 \( \text{V}(X) \) は次の式で計算されます。
\[ \text{V}(X) = E[X^2] - (E[X])^2 \] まず \( E[X^2] \) を計算します。
\[ E[X^2] = \int_0^5 x^2 f(x) dx = \int_0^5 x^2 \frac{2}{25} x dx = \frac{2}{25} \int_0^5 x^3 dx \]
$ \int_0^5 x^3 dx = \frac{625}{4} $より、
\[ E[X^2] = \frac{2}{25} \times \frac{625}{4} = \frac{1250}{100} = 12.5 \]
次に、分散を求めます。
\[ \text{Var}(X) = 12.5 - \left( \frac{10}{3} \right)^2 = 12.5 - \frac{100}{9} = \frac{25}{18} \]
3.2. 問題2: 宇宙船のエネルギー問題
\[ f(y) = \lambda e^{-\lambda y}, \quad y \geq 0 \]
ここで、\( \lambda = 0.5 \) です。
この宇宙船に補給されるエネルギーの期待値と分散を求めなさい。
指数分布における期待値は次の式で与えられます。
\[ E[Y] = \frac{1}{\lambda} \] ここで、\( \lambda = 0.5 \) なので、
\[ E[Y] = \frac{1}{0.5} = 2 \]
したがって、期待値は \( 2 \) です。
指数分布における分散は次の式で与えられます。
\[ \text{V}(Y) = \frac{1}{\lambda^2} \] ここで、\( \lambda = 0.5 \) なので、
\[ \text{V}(Y) = \frac{1}{(0.5)^2} = 4 \]
したがって、分散は \( 4 \) です。
