更新:2025/02/12

連続型確率分布の意味と性質について

はるか
はるか
確率分布って、大きく分けると離散型と連続型がある。
ふゅか
ふゅか
そうね!例えば、サイコロの出目みたいに特定の値しか取らないのが離散型で、身長や気温みたいに連続的な値を取るのが連続型ね!

1. 連続型確率分布とは?

確率分布には、大きく分けて離散型確率分布連続型確率分布の2種類があります。本記事では、連続型確率分布について、その定義、代表的な分布、性質、そして具体的な計算例を交えながら解説します。

2. 連続型確率分布の定義

連続型確率分布とは、確率変数が連続的な値をとる確率分布のことを指します。例えば、身長や体重、気温などの値は連続的に変化するため、これらは連続型確率分布に従います。

連続型確率変数 \(X\) の確率密度関数(Probability Density Function, PDF)を \( f(x) \) とすると、ある区間 \( [a, b] \) における確率は次のように定義されます。

\[ P(a \leq X \leq b) = \int_{a}^{b} f(x)\,dx \]

確率密度関数 \( f(x) \) は次の性質を満たします。

  1. \( f(x) \geq 0 \)(非負性)
  2. \( \int_{-\infty}^{\infty} f(x)\,dx = 1 \)(全確率が1になる)

また、期待値(平均)\( \mathbb{E}[X] \) と分散 \( \text{Var}(X) \) はそれぞれ次のように定義されます。

\[ \mathbb{E}[X] = \int_{-\infty}^{\infty} x f(x)\,dx \]

\[ \text{Var}(X) = \mathbb{E}[X^2] - (\mathbb{E}[X])^2 \]

3. 代表的な連続型確率分布

ふゅか
ふゅか
連続型確率分布の具体例って何があるの?

はるか
はるか
一様分布、正規分布、指数分布とか。

3.1. 連続一様分布

一様分布は、ある区間内のすべての値が等しい確率で発生する分布です。区間 \( [a, b] \) の一様分布の確率密度関数は以下のようになります。

\[ f(x) = \begin{cases} \frac{1}{b-a}, & a \leq x \leq b \\ 0, & \text{otherwise} \end{cases} \]

期待値と分散は次のように求められます。

\[ \mathbb{E}[X] = \frac{a + b}{2}, \quad \text{Var}(X) = \frac{(b-a)^2}{12} \]

3.2. 正規分布

正規分布は、自然界や統計学において非常に重要な分布です。平均 \( \mu \)、分散 \( \sigma^2 \) をもつ正規分布の確率密度関数は次のように表されます。

\[ f(x) = \frac{1}{\sqrt{2\pi \sigma^2}} \exp\left(-\frac{(x-\mu)^2}{2\sigma^2}\right) \]

期待値と分散は以下のようになります。

\[ \mathbb{E}[X] = \mu, \quad \text{Var}(X) = \sigma^2 \]

3.3. 指数分布

指数分布は、事象がいつ発生するかの時間間隔をモデル化する分布で、主に待ち時間のモデリングに使われます。パラメータ \( \lambda > 0 \) をもつ指数分布の確率密度関数は次のようになります。

\[ f(x) = \lambda e^{-\lambda x}, \quad (x \geq 0) \]

期待値と分散はそれぞれ

\[ \mathbb{E}[X] = \frac{1}{\lambda}, \quad \text{Var}(X) = \frac{1}{\lambda^2} \]

と計算されます。

4. 確率密度関数と累積分布関数

確率密度関数(PDF)とは別に、累積分布関数(Cumulative Distribution Function, CDF) \( F(x) \) も重要です。\( X \) がある値以下になる確率を表し、次のように定義されます。

\[ F(x) = P(X \leq x) = \int_{-\infty}^{x} f(t)\,dt \]

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