連続型確率分布の意味と性質について
1. 連続型確率分布とは？
確率分布には、大きく分けて離散型確率分布と連続型確率分布の2種類があります。本記事では、連続型確率分布について、その定義、代表的な分布、性質、そして具体的な計算例を交えながら解説します。
2. 連続型確率分布の定義
連続型確率分布とは、確率変数が連続的な値をとる確率分布のことを指します。例えば、身長や体重、気温などの値は連続的に変化するため、これらは連続型確率分布に従います。
連続型確率変数 \(X\) の確率密度関数（Probability Density Function, PDF）を \( f(x) \) とすると、ある区間 \( [a, b] \) における確率は次のように定義されます。
\[ P(a \leq X \leq b) = \int_{a}^{b} f(x)\,dx \]
確率密度関数 \( f(x) \) は次の性質を満たします。
- \( f(x) \geq 0 \)（非負性）
- \( \int_{-\infty}^{\infty} f(x)\,dx = 1 \)（全確率が1になる）
また、期待値（平均）\( \mathbb{E}[X] \) と分散 \( \text{Var}(X) \) はそれぞれ次のように定義されます。
\[ \mathbb{E}[X] = \int_{-\infty}^{\infty} x f(x)\,dx \]
\[ \text{Var}(X) = \mathbb{E}[X^2] - (\mathbb{E}[X])^2 \]
3. 代表的な連続型確率分布
3.1. 連続一様分布
一様分布は、ある区間内のすべての値が等しい確率で発生する分布です。区間 \( [a, b] \) の一様分布の確率密度関数は以下のようになります。
\[ f(x) = \begin{cases} \frac{1}{b-a}, & a \leq x \leq b \\ 0, & \text{otherwise} \end{cases} \]
期待値と分散は次のように求められます。
\[ \mathbb{E}[X] = \frac{a + b}{2}, \quad \text{Var}(X) = \frac{(b-a)^2}{12} \]
3.2. 正規分布
正規分布は、自然界や統計学において非常に重要な分布です。平均 \( \mu \)、分散 \( \sigma^2 \) をもつ正規分布の確率密度関数は次のように表されます。
\[ f(x) = \frac{1}{\sqrt{2\pi \sigma^2}} \exp\left(-\frac{(x-\mu)^2}{2\sigma^2}\right) \]
期待値と分散は以下のようになります。
\[ \mathbb{E}[X] = \mu, \quad \text{Var}(X) = \sigma^2 \]
3.3. 指数分布
指数分布は、事象がいつ発生するかの時間間隔をモデル化する分布で、主に待ち時間のモデリングに使われます。パラメータ \( \lambda > 0 \) をもつ指数分布の確率密度関数は次のようになります。
\[ f(x) = \lambda e^{-\lambda x}, \quad (x \geq 0) \]
期待値と分散はそれぞれ
\[ \mathbb{E}[X] = \frac{1}{\lambda}, \quad \text{Var}(X) = \frac{1}{\lambda^2} \]
と計算されます。
4. 確率密度関数と累積分布関数
確率密度関数（PDF）とは別に、累積分布関数（Cumulative Distribution Function, CDF） \( F(x) \) も重要です。\( X \) がある値以下になる確率を表し、次のように定義されます。
\[ F(x) = P(X \leq x) = \int_{-\infty}^{x} f(t)\,dt \]
