ダランベールの判定法の定義・例題・性質について

$はるか$

はるか

無限級数が収束するか知りたい

$ふゅか$

ふゅか

ダランベールの判定法を使うと判定できるわ！

1. ダランベールの判定法とは
1.1. ダランベールの判定法の定義
2. ダランベールの判定法の例題
2.1. 例1
2.2. 例2
2.3. 例3

1. ダランベールの判定法とは

ダランベールの判定法は無限級数の収束性を調べるための手法です。特に、この判定法は正項級数に適用されます。ここでの「正項級数」とは、級数の全ての項が非負の数であるという意味です。

1.1. ダランベールの判定法の定義

無限級数 $\sum_{n=1}^\infty a_n$ が与えられたとき、隣接する項の比 $\frac{a_{n+1}}{a_n}$ を考慮します。この比の極限値（nが無限大に近づくときの極限）を $R$ とします。

\[ R = \lim_{n \to \infty} \frac{a_{n+1}}{a_n} \]

Rの値によって、級数が収束するか場合分けをします。

$R< 1$ の場合、級数 $\sum_{n=1}^\infty a_n$ は収束します。
$R = 1$の場合、この判定法からは級数の収束・発散が判断できません。
$R > 1$ の場合、級数は発散します。

$はるか$

はるか

ふーん。R=1のときはわからないのか。

2. ダランベールの判定法の例題

$ふゅか$

ふゅか

3つの例題を解いてみよう！

2.1. 例1

級数 $\displaystyle\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n^2}$ にダランベールの判定法を適用して収束するか調べなさい。

この級数の各項は $a_n = \frac{1}{n^2}$ です。隣接する項の比は次のようになります。

\[ \frac{a_{n+1}}{a_n} = \frac{\frac{1}{(n+1)^2}}{\frac{1}{n^2}} = \left(\frac{n}{n+1}\right)^2 \]

ここで極限を取ると、

\[ R = \lim_{n \to \infty} \left(\frac{n}{n+1}\right)^2 = \lim_{n \to \infty} \left(1 – \frac{1}{n+1}\right)^2 = 1^2 = 1 \]

この結果 $R= 1$ なので、ダランベールの判定法では収束か発散かを判断できませんが、$\dfrac{\pi^2}{6}$に収束することが知られています。

2.2. 例2

次の級数が収束するかダランベールの判定法を用いて求めなさい。

\[ \sum_{n=1}^{\infty} \frac{n^2}{3^n} x^n \]

一般項 $ a_n = \frac{n^2}{3^n} x^n $ に対して、ダランベールの判定法を用います。比の極限を $ R $ とおくと、

\[ R = \lim_{n \to \infty} \left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right| \]

計算は次のようになります。

\[ R = \lim_{n \to \infty} \left|\frac{\frac{(n+1)^2}{3^{n+1}} x^{n+1}}{\frac{n^2}{3^n} x^n}\right| = \lim_{n \to \infty} \left(\frac{(n+1)^2}{n^2} \cdot \frac{|x|}{3}\right) \]

\[ R = \frac{|x|}{3} \cdot \lim_{n \to \infty} \left(\frac{(n+1)^2}{n^2}\right) = \frac{|x|}{3} \]

この $ R = \frac{|x|}{3} $ を用いて、収束の条件を次のように場合分けして考えます。

$ R < 1 $ の場合: \[ \frac{|x|}{3} < 1 \quad \text{すなわち} \quad |x| < 3 \] この場合、級数は収束します。
$ R > 1 $ の場合: \[ \frac{|x|}{3} > 1 \quad \text{すなわち} \quad |x| > 3 \] この場合、級数は発散します。
$ R = 1 $ の場合: \[ \frac{|x|}{3} = 1 \quad \textすなわち \quad |x| = 3 \] この場合、収束するかどうかはダランベールの判定法ではわかりません。