【信号処理】ディラックのデルタ関数の意味と性質について

1. デルタ関数（インパルス関数）とは？

ディラックのデルタ関数（またはインパルス関数）は、数学や物理学で重要な概念の一つです。一見すると通常の関数のように思えますが、実際には少し異なります。この関数は、非常に短い時間や小さな領域に集中して作用します。

1.1. デルタ関数の直感的なイメージ

デルタ関数を具体的にイメージするには、幅が狭くて高さが非常に大きな「針」のような形状を考えるとわかりやすいでしょう。この針の面積を1に保つことで、理想的なインパルスとして扱えます。

信号処理で大活躍する関数です。

ふゅか

まず、デルタ関数のイメージをつかむには、「針」のような形状を考えると良いわね。高さは無限大に近いけど、全体の面積は1。なんだか不思議じゃない？

はるか

そう。幅を狭めて高さを上げる。

2. デルタ関数の性質

デルタ関数は以下の性質を持っています：

2.1. ゼロ以外の場所では常に0

2.2. 積分すると1になる

2.3. サンプリング

これは、デルタ関数が「関数の特定の点（ここでは0）を抽出する」という役割を持つことを意味します。

2.4. 平行移動の性質

デルタ関数の針の形状の位置がずれているイメージです。

ここで、変数変換

\[ u = x - a \quad \Longrightarrow \quad x = u + a \] を行うと、

\[  \int_{-\infty}^{\infty} \delta(u)\, f(u + a)\, du. \]

ここで「\(\delta(u)\) は \(u=0\) の点を抽出する」ことから、

\[ \int_{-\infty}^\infty \delta(x - a) f(x) \, dx  = f(a)\]

2.5. スケーリングの性質

ここでも変数変換を用います。

\[ u = a x \quad \Longrightarrow \quad x = \frac{u}{a}, \quad dx = \frac{du}{a} \] すると、\(x\) が \(-\infty\) から \(+\infty\) にわたるとき、\(u\) も \(-\infty\) から \(+\infty\) にわたります。したがって、

\[ \delta(a x) = \frac{1}{a}\,\delta(x) \]

a<0のとき、積分範囲が逆転するので、

\[ \delta(a x) = \frac{1}{|a|}\,\delta(x) \]

3. 正規分布による近似

イメージとしては正規分布の分散の形状がどんどん狭まっていく感じです。

はるか

デルタ関数、正規分布でも近似される。

ふゅか

うん！幅を狭くしていくと、デルタ関数に近づいていくのよね。

正規分布による近似を行った時に、先ほど説明したデルタ関数の性質を満たすか調べてみましょう。以下では

$$\delta_\epsilon(x)=\frac{1}{\sqrt{\pi}\epsilon} e^{-x^2/\epsilon^2} $$

として、計算を進めます。以下は、極限と積分の順序を交換しているので厳密性に欠けます。

3.1. 積分したとき

1. \(\delta_\epsilon(x)\) の積分を計算します： \[ \int_{-\infty}^\infty \delta_\epsilon(x) \, dx = \int_{-\infty}^\infty \frac{1}{\sqrt{\pi}\epsilon} e^{-x^2/\epsilon^2} \, dx \]
2. 変数変換 \(u = \frac{x}{\epsilon}\) を行うと： \[ x = u\epsilon, \quad dx = \epsilon \, du \] よって積分は： \[ \int_{-\infty}^\infty \frac{1}{\sqrt{\pi}\epsilon} e^{-x^2/\epsilon^2} \, dx = \int_{-\infty}^\infty \frac{1}{\sqrt{\pi}\epsilon} e^{-u^2} \epsilon \, du = \int_{-\infty}^\infty \frac{1}{\sqrt{\pi}} e^{-u^2} \, du \]
3. \(\int_{-\infty}^\infty e^{-u^2} \, du = \sqrt{\pi}\)（ガウス積分）であるため： \[ \int_{-\infty}^\infty \delta_\epsilon(x) \, dx = \frac{1}{\sqrt{\pi}} \cdot \sqrt{\pi} = 1 \]
4. 極限を取ると、\(\epsilon \to 0\) のとき \(\delta_\epsilon(x) \to \delta(x)\) であるため： \[ \int_{-\infty}^\infty \delta(x) \, dx = 1 \]

3.2. 関数 \(f(x)\) に対する作用

変数変換 \(u = \frac{x}{\epsilon}\), \(x = u\epsilon\), \(dx = \epsilon du\) を行うと： \[ \int_{-\infty}^\infty \frac{1}{\sqrt{\pi}\epsilon} e^{-x^2/\epsilon^2} f(x) \, dx = \int_{-\infty}^\infty \frac{1}{\sqrt{\pi}} e^{-u^2} f(u\epsilon) \, du \]

\(\epsilon \to 0\) のとき、\(f(u\epsilon) \to f(0)\) が成り立つため、積分全体は以下のように収束します： \[ \int_{-\infty}^\infty \frac{1}{\sqrt{\pi}} e^{-u^2} f(u\epsilon) \, du \to f(0) \int_{-\infty}^\infty \frac{1}{\sqrt{\pi}} e^{-u^2} \, du \]

ここで \(\int_{-\infty}^\infty \frac{1}{\sqrt{\pi}} e^{-u^2} \, du = 1\) であるため： \[ \int_{-\infty}^\infty \delta_\epsilon(x) f(x) \, dx \to f(0) \]

3.3. スケーリングの性質

\[ \delta_\epsilon(ax) = \frac{1}{\sqrt{\pi}\epsilon} e^{-(ax)^2/\epsilon^2} = \frac{1}{\sqrt{\pi}\epsilon} e^{-a^2x^2/\epsilon^2} \]

変数変換 \(u = |a|x\), \(x = \frac{u}{|a|}\), \(dx = \frac{1}{|a|}du\) を用いると： \[ \int_{-\infty}^\infty \delta_\epsilon(ax) \, dx = \int_{-\infty}^\infty \frac{1}{\sqrt{\pi}\epsilon} e^{-u^2/\epsilon^2} \frac{1}{|a|} \, du \]

極限 \(\epsilon \to 0\) を取れば、\(\delta(ax) = \frac{1}{|a|} \delta(x)\) が得られます。

3.4. 平行移動の性質

\[ \int_{-\infty}^\infty \delta_\epsilon(x - a) f(x) \, dx = \int_{-\infty}^\infty \frac{1}{\sqrt{\pi}\epsilon} e^{-(x - a)^2/\epsilon^2} f(x) \, dx \]

変数変換 \(u = \frac{x - a}{\epsilon}\), \(x = u\epsilon + a\), \(dx = \epsilon du\) を行うと： \[ \int_{-\infty}^\infty \frac{1}{\sqrt{\pi}\epsilon} e^{-(x - a)^2/\epsilon^2} f(x) \, dx = \int_{-\infty}^\infty \frac{1}{\sqrt{\pi}} e^{-u^2} f(u\epsilon + a) \, du \]

\(\epsilon \to 0\) のとき、\(f(u\epsilon + a) \to f(a)\) であるため： \[ \int_{-\infty}^\infty \delta_\epsilon(x - a) f(x) \, dx \to f(a) \int_{-\infty}^\infty \frac{1}{\sqrt{\pi}} e^{-u^2} \, du \]

ここでも \(\int_{-\infty}^\infty \frac{1}{\sqrt{\pi}} e^{-u^2} \, du = 1\) であるため： \[ \int_{-\infty}^\infty \delta_\epsilon(x - a) f(x) \, dx \to f(a) \]