更新:2025/01/18

複素関数の微分可能性とコーシー・リーマンの関係式について

$はるか$

はるか

複素関数の微分って、実数の微分と違う。近づき方に依存しないのがポイント。

$ふゅか$

ふゅか

そうなのよね！コーシー・リーマンの関係式もでてきてやりがいがあるのよね

1. 複素関数の微分可能
2. コーシー・リーマンの関係式
3. 微分不可能な具体例
3.1. 絶対値
3.2. 複素共役
4. 微分可能な複素関数
4.1. $ f(z) = z $
4.2. $ f(z) = z^2 $
4.3. 指数関数: $ f(z) = e^z $
5. コーシー・リーマンの関係式の証明
5.1. 正則性からコーシー・リーマンの関係式を導く
5.2. コーシー・リーマンの関係式から正則性を示す

1. 複素関数の微分可能

複素関数 $ f(z) $ は、複素数 $ z = x + iy $ を変数とする関数です。ここで、$ x $ は実部、$ y $ は虚部を表します。

複素関数がある点 $ z_0 $ で微分可能であるとは、以下の極限が存在することを意味します：

\[ f'(z_0) = \lim_{z \to z_0} \frac{f(z) - f(z_0)}{z - z_0} \]

この極限が存在するためには、$ z $ の変化方向（どの角度から $ z_0 $ に近づくか）に依存せずに一定である必要があります。このような極限が存在する関数を正則関数と呼びます。

2. コーシー・リーマンの関係式

複素関数 $ f(z) $ を次のように表します：

\[ f(z) = u(x, y) + iv(x, y) \]

関数 $ f(z) $ が正則であることと、次の コーシー・リーマンの関係式 が成り立つことは同値である。

\[ \frac{\partial u}{\partial x} = \frac{\partial v}{\partial y}, \quad \frac{\partial u}{\partial y} = -\frac{\partial v}{\partial x} \]

偏微分を並べると対角線上に関係式が成り立っているように見えます。

3. 微分不可能な具体例

$はるか$

はるか

絶対値関数 $ f(z) = |z| $ はどう？微分可能？

$ふゅか$

ふゅか

それは微分不可能！コーシー・リーマンの関係式が成り立たないからね！

3.1. 絶対値

$ f(z) = |z| $ は、複素数 $ z = x + iy $ の絶対値を取る関数で、次のように表されます：

\[ f(z) = |z| = \sqrt{x^2 + y^2} \]

$ f(z) $ を実部 $ u(x, y) $ と虚部 $ v(x, y) $ に分けると、$ u(x, y) = \sqrt{x^2 + y^2} $、$ v(x, y) = 0 $ です。

コーシー・リーマンの関係式を調べると、次の偏微分が得られます： \[ \frac{\partial u}{\partial x} = \frac{x}{\sqrt{x^2 + y^2}}, \quad \frac{\partial u}{\partial y} = \frac{y}{\sqrt{x^2 + y^2}} \] \[ \frac{\partial v}{\partial x} = 0, \quad \frac{\partial v}{\partial y} = 0 \]

コーシー・リーマンの条件 $ \frac{\partial u}{\partial x} = \frac{\partial v}{\partial y} $ および $ \frac{\partial u}{\partial y} = -\frac{\partial v}{\partial x} $ を満たしません。

したがって、$ f(z) = |z| $ は微分不可能です。

3.2. 複素共役

複素共役関数 $ f(z) = \overline{z} $ は、複素数 $ z = x + iy $ の共役を取る関数で、次のように表されます：

\[ f(z) = \overline{z} = x - iy \]

$ f(z) $ を実部 $ u(x, y) = x $、虚部 $ v(x, y) = -y $ に分けます。

コーシー・リーマンの条件を調べると、次の偏微分が得られます： \[ \frac{\partial u}{\partial x} = 1, \quad \frac{\partial u}{\partial y} = 0 \] \[ \frac{\partial v}{\partial x} = 0, \quad \frac{\partial v}{\partial y} = -1 \]

したがって、$ f(z) = \overline{z} $ は微分不可能です。

4. 微分可能な複素関数

複素関数が微分可能な例をいくつか挙げ、それぞれがコーシー・リーマンの関係式を満たしていることを確認します。

$はるか$

はるか

逆に、簡単な微分可能な例は？

$ふゅか$

ふゅか

やっぱり $ f(z) = z $ かな！実部が $ x $、虚部が $ y $ だから簡単に計算できるよ！

4.1. $ f(z) = z $

複素数 $ z $ をそのまま返す関数です。

$$ f(z) = z = x + iy$$

実部と虚部:
\[ u(x, y) = x, \quad v(x, y) = y \]

偏微分とコーシー・リーマンの関係式:

\[ \frac{\partial u}{\partial x} = 1, \quad \frac{\partial u}{\partial y} = 0\]

\[ \frac{\partial v}{\partial x} = 0, \quad \frac{\partial v}{\partial y} = 1 \]

コーシー・リーマンの関係式: \[ \frac{\partial u}{\partial x} = \frac{\partial v}{\partial y}, \quad \frac{\partial u}{\partial y} = -\frac{\partial v}{\partial x} \] これを満たします。

4.2. $ f(z) = z^2 $

\[ f(z) = z^2 = (x + iy)^2 = x^2 - y^2 + 2xyi \]

実部と虚部:

\[ u(x, y) = x^2 - y^2, \quad v(x, y) = 2xy \]

偏微分とコーシー・リーマンの関係式:

\[ \frac{\partial u}{\partial x} = 2x, \quad \frac{\partial u}{\partial y} = -2y\]

\[ \frac{\partial v}{\partial x} = 2y, \quad \frac{\partial v}{\partial y} = 2x \]

4.3. 指数関数: $ f(z) = e^z $

\[ f(z) = e^z = e^{x+iy} = e^x (\cos y + i \sin y) \]

実部と虚部の関数は

\[ u(x, y) = e^x \cos y, \quad v(x, y) = e^x \sin y \]

偏微分とコーシー・リーマンの関係式:

\[ \frac{\partial u}{\partial x} = e^x \cos y, \quad \frac{\partial u}{\partial y} = -e^x \sin y \]

\[ \frac{\partial v}{\partial x} = e^x \sin y, \quad \frac{\partial v}{\partial y} = e^x \cos y \]

5. コーシー・リーマンの関係式の証明

5.1. 正則性からコーシー・リーマンの関係式を導く

前提: 複素関数 $ f(z) = f(x + iy) = u(x, y) + iv(x, y) $ が正則であるとします。

正則性の意味: $ f $ が正則であるとは、複素数 $ h \to 0 $ の極限において次が成り立つことを意味します。 \[ \lim_{h \to 0} \frac{f(z + h) - f(z)}{h} \text{ が存在する。} \] ここで、$ h $ は複素数であり、実部と虚部を持つ $ h = h_1 + ih_2 $ と表せます。

$ h $ を実数 $ h_1 $ に限定して考えると、極限は次のようになります。 \[ \frac{\partial f}{\partial x} = \lim_{h_1 \to 0} \frac{f(x + h_1 + iy) - f(x + iy)}{h_1}\]

$ h $ を純虚数 $ ih_2 $ に限定して考えると、極限は次のようになります。 \[ \frac{\partial f}{\partial y} = \lim_{h_2 \to 0} \frac{f(x + i(y + h_2)) - f(x + iy)}{ih_2}\]

正則性の条件より、変化方向に依存せず上記の2つの微分の値は一致するため、

\[ \frac{\partial f}{\partial x} = -i \frac{\partial f}{\partial y}\]

実部と虚部の分離: $ f(x, y) = u(x, y) + iv(x, y) $ と書けるため、上記の式を実部と虚部に分けると次が得られます。 \[ \frac{\partial u}{\partial x} = \frac{\partial v}{\partial y}, \quad \frac{\partial u}{\partial y} = -\frac{\partial v}{\partial x}\]

5.2. コーシー・リーマンの関係式から正則性を示す

前提：2変数関数 $ u(x, y), v(x, y) $ が $ C^1 $ 級であり、コーシー・リーマンの関係式を満たすとします。

関数 $ u(x, y) $ と $ v(x, y) $ を、それぞれ点 $ (x, y) $ の周りでテイラー展開すると、次のようになります： \[ u(x + h, y + k) = u(x, y) + \frac{\partial u}{\partial x}h + \frac{\partial u}{\partial y}k + o(h^2 + k^2), \]

\[ v(x + h, y + k) = v(x, y) + \frac{\partial v}{\partial x}h + \frac{\partial v}{\partial y}k + o(h^2 + k^2), \]

コーシー・リーマンの関係式

\[ \frac{\partial u}{\partial x} = \frac{\partial v}{\partial y}, \quad \frac{\partial u}{\partial y} = -\frac{\partial v}{\partial x} \]

を用いると、これらの式を以下のように書き換えることができます

\[ u(x + h, y + k) = u(x, y) + \frac{\partial v}{\partial y}h - \frac{\partial v}{\partial x}k + o(h^2 + k^2), \]

\[ v(x + h, y + k) = v(x, y) + \frac{\partial v}{\partial x}h + \frac{\partial v}{\partial y}k + o(h^2 + k^2)\]

複素関数 $ f(z) $ を $ f(z) = u(x, y) + iv(x, y) $ とすると、$ z = x + iy $ および $ l = h + ik $ を用いて次のように書けます： \[ f(z + l) = u(x + h, y + k) + iv(x + h, y + k)\]

上記の $ u(x + h, y + k) $ と $ v(x + h, y + k) $ を代入すると：

\[ f(z + l) = \big(u(x, y) + \frac{\partial v}{\partial y}h - \frac{\partial v}{\partial x}k\big)+i\big(v(x, y) + \frac{\partial v}{\partial x}h + \frac{\partial v}{\partial y}k\big) + o(h^2 + k^2)\]

これを整理すると： \[ f(z + l) = \big(u(x, y) + iv(x, y)\big) + \big(\frac{\partial v}{\partial y} + i\frac{\partial v}{\partial x}\big)+h\big(-\frac{\partial v}{\partial x} + i\frac{\partial v}{\partial y}\big)ik + o(h^2 + k^2)\]

ここで、$ A = \frac{\partial v}{\partial y} + i\frac{\partial v}{\partial x} $ として、$ l = h + ik \to 0 $のとき、

\[ f(z + l) = f(z) + A(h + ik) + o(|l|)\]

$ f(z) $ が複素微分可能であることを示している。