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微分積分学
python SciPy 特殊関数
更新:2025/03/11

ディガンマ関数とは？定義と性質、Pythonによる数値計算について

「ディガンマ関数」という名前を聞いたことはありますか？数学や統計学に登場するこの関数は、ガンマ関数の対数微分として定義され、確率分布や特殊関数の解析に欠かせない重要な役割を果たします。

はるか
はるか
ディガンマ関数って何？
ふゅか
ふゅか
うん！最初にディガンマ関数の定義について話しましょうか？
目次

1. ディガンマ関数の定義

ディガンマ関数は、ガンマ関数 Γ(x) \Gamma(x) の対数の導関数として定義されます。

ディガンマ関数 ψ(x) \psi(x) は、次のように定義されます。

ψ(x)=ddxlog⁡Γ(x)=Γ′(x)Γ(x) \psi(x) = \frac{d}{dx} \log \Gamma(x) = \frac{\Gamma'(x)}{\Gamma(x)}

ここで、Γ(x) \Gamma(x) はガンマ関数を表します。

ふゅか
ふゅか
ガンマ関数を微分してその結果をガンマ関数で割った形ね。

2. 性質

ディガンマ関数にはいくつかの性質があります。
  1. 漸化式: ψ(x+1)=ψ(x)+1x \psi(x+1) = \psi(x) + \frac{1}{x}
  2. z=1: ψ(1)=−γ \psi(1) = -\gamma ここで、γ \gamma はオイラー＝マスケローニ定数です。
  3. ベータ分布X:E[ln⁡X]  =  ψ(α)  −  ψ(α+β) E[\ln X] \;=\; \psi(\alpha) \;-\; \psi(\alpha + \beta)

2.1. ディガンマ関数の漸化式

ふゅか
ふゅか
次に、ディガンマ関数の性質について話しましょう。漸化式が有名だよね。

ディガンマ関数 ψ(x)\psi(x) は、ガンマ関数 Γ(x)\Gamma(x) の対数微分として定義されます。
ψ(x)=ddxlog⁡Γ(x) \psi(x) = \frac{d}{dx} \log \Gamma(x)

ガンマ関数 Γ(x)\Gamma(x) は、次の性質を持ちます。

Γ(x+1)=xΓ(x) \Gamma(x+1) = x \Gamma(x)

これを対数を取ることで次のようになります。

log⁡Γ(x+1)=log⁡(xΓ(x))=log⁡x+log⁡Γ(x) \log \Gamma(x+1) = \log(x \Gamma(x)) = \log x + \log \Gamma(x)

この両辺を微分します。

ddxlog⁡Γ(x+1)=ddx(log⁡x+log⁡Γ(x)) \frac{d}{dx} \log \Gamma(x+1) = \frac{d}{dx} (\log x + \log \Gamma(x))

ここで、ディガンマ関数の定義により左辺は ψ(x+1)\psi(x+1) となり、右辺は次のようになります。

ψ(x+1)=ddxlog⁡x+ddxlog⁡Γ(x) \psi(x+1) = \frac{d}{dx} \log x + \frac{d}{dx} \log \Gamma(x)

ddxlog⁡x\frac{d}{dx} \log x は 1x\frac{1}{x} であり、ddxlog⁡Γ(x)\frac{d}{dx} \log \Gamma(x) は ψ(x)\psi(x) です。したがって、

ψ(x+1)=1x+ψ(x) \psi(x+1) = \frac{1}{x} + \psi(x)

これにより、次の関係式が示されました。

ψ(x+1)=ψ(x)+1x \psi(x+1) = \psi(x) + \frac{1}{x}

2.2. z=1のときのディガンマ関数

ガンマ関数の対数微分で得られる公式を利用して、ディガンマ関数 ψ(z)\psi(z) を導出します。

まず、ガンマ関数 Γ(z)\Gamma(z) の無限乗積表示から出発します。

1Γ(z)=lim⁡n→∞n! nzz(z+1)(z+2)⋯(z+n) \frac{1}{\Gamma(z)} = \lim_{n \to \infty} \frac{n! \, n^z}{z(z+1)(z+2)\cdots(z+n)}

これの両辺の対数を取ると。

log⁡Γ(z)=–lim⁡n→∞(∑k=0nlog⁡(z+k)–zlog⁡n–log⁡n!) \log \Gamma(z) = – \lim_{n \to \infty} \left( \sum_{k=0}^n \log(z + k) – z \log n – \log n! \right)

この式を zz について微分すると、ディガンマ関数 ψ(z)\psi(z) を得ることができます。

ψ(z)=ddzlog⁡Γ(z)=–lim⁡n→∞(∑k=0n1z+k–log⁡n) \psi(z) = \frac{d}{dz} \log \Gamma(z) = – \lim_{n \to \infty} \left( \sum_{k=0}^n \frac{1}{z + k} – \log n \right)

この公式に z=1z = 1 を代入すると、ψ(1)\psi(1) になります。

ψ(1)=–lim⁡n→∞(∑k=0n11+k–log⁡n) \psi(1) = – \lim_{n \to \infty} \left( \sum_{k=0}^n \frac{1}{1 + k} – \log n \right)

ψ(1)=–lim⁡n→∞(1n+1+∑k=1n1k–log⁡n) \psi(1) = – \lim_{n \to \infty} \left( \frac{1}{n+1} + \sum_{k=1}^n \frac{1}{k} – \log n \right)

ψ(1)=–(lim⁡n→∞(1n+1)+γ) \psi(1) = – \left( \lim_{n \to \infty} \left( \frac{1}{n+1} \right) + \gamma \right)

lim⁡n→∞1n+1\displaystyle\lim_{n \to \infty} \frac{1}{n+1}は 00 に収束するため、

ψ(1)=–γ \psi(1) = – \gamma

オイラー・マスケローニ定数 γ\gamma は次のように定義されます。

γ=lim⁡n→∞(∑k=1n1k–log⁡n) \gamma = \lim_{n \to \infty} \left( \sum_{k=1}^n \frac{1}{k} – \log n \right)

2.3. ベータ分布とディガンマ関数

Xがベータ分布に従うとき、

E[ln⁡X]  =  ψ(α)  −  ψ(α+β) E[\ln X] \;=\; \psi(\alpha) \;-\; \psi(\alpha + \beta)

ベータ分布は、区間 [0,1][0,1] 上で定義される確率分布です。

ベータ分布のグラフ

3. Pythonで数値計算

はるか
はるか
Pythonでのディガンマ関数の計算方法も気になる。
ふゅか
ふゅか
そうね。PythonのSciPyライブラリを使えば簡単に計算できるわ。

ディガンマ関数の値を数値的に計算するためのアルゴリズムは多くの数学ソフトウェアやライブラリに実装されています。例えば、PythonのSciPyライブラリでは scipy.special.digamma 関数が用意されています。

以下はPythonでディガンマ関数の値を計算する例です。

import scipy.special

# xの値
x = 5.0

# ディガンマ関数の値を計算
result = scipy.special.digamma(x)

print(result)

このように、ディガンマ関数は数学とその応用分野において広く利用される重要な関数です。

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