分散期待値

更新:2024/09/18

離散型確率変数の期待値と分散・定義・練習問題について

$ふゅか$

ふゅか

期待値って何か知ってる？

$はるか$

はるか

うん、確率変数の平均値。

1. 期待値
1.1. 離散型確率変数の期待値
2. 分散
2.1. 分散の定義
2.2. 離散型確率変数の分散
3. 練習問題
3.1. 問題 1: 本の売り上げの期待値と分散
3.2. 問題 2: 売れるジャンルの本の問題
3.2.1. 小説の期待値と分散
3.2.2. ビジネス書の期待値と分散
3.2.3. 自己啓発書の期待値と分散
3.3. 問題 3: 特定の本の売り上げ問題

1. 期待値

期待値は、確率変数の平均値、つまり「期待される値」を表します。

1.1. 離散型確率変数の期待値

確率変数 $ X $ が取り得る値を $ x_1, x_2, \dots, x_n $ とし、それぞれの値が発生する確率を $ p_1, p_2, \dots, p_n $ とします。期待値 $ \mathbb{E}[X] $ は次のように定義されます。

\[ \mathbb{E}[X] = \sum_{i=1}^n x_i \cdot p_i \]

これは、各値 $ x_i $ にその確率 $ p_i $ を掛けたものを全て足し合わせたものです。

$はるか$

はるか

離散型確率変数の期待値は、値ごとに計算が必要。全部の値を確認するのがポイント。

2. 分散

$はるか$

はるか

分散は、期待値からのズレの平均。大きいとデータが散らばっている。

分散は、確率変数が期待値からどれだけ離れているかの平均的な尺度を示します。分散が大きいほど、データが広く散らばっていることを意味し、分散が小さいほどデータが集中していることを意味します。

2.1. 分散の定義

確率変数 $ X $ の分散 $ V(X) $ は、次のように定義されます。

\[ V(X) = \mathbb{E}[(X – \mathbb{E}[X])^2] \]

これは、確率変数 $ X $ の値が期待値 $ \mathbb{E}[X] $ からどれだけ離れているか（偏差）の二乗を平均したものです。偏差の二乗を取ることで、期待値からのずれを正の値として扱うことができます。

2.2. 離散型確率変数の分散

確率変数 $ X $ が離散型で、その取り得る値が $ x_1, x_2, \dots, x_n $ とし、それぞれの確率が $ p_1, p_2, \dots, p_n $ である場合、分散 $ V(X) $ は次のように表されます。

\[\mathbb{V}(X) = \sum_{i=1}^n (x_i – \mathbb{E}[X])^2 \cdot p_i \]

また、

\[ \mathbb{V}(X) = \mathbb{E}[X^2] – (\mathbb{E}[X])^2 \]

も使われます。

3. 練習問題

$ふゅか$

ふゅか

さっきの期待値と分散の計算、実際に問題を解いてみるとどうなるかな？

$はるか$

はるか

まずは、期待値を計算。次に、各値の二乗を計算して、分散を出す。

3.1. 問題 1: 本の売り上げの期待値と分散

ある書店では、1日に売れる本の数が以下の確率分布に従うとします。このとき、1日に売れる本の数 $X$ の期待値と分散を求めてください。

売れる本の数 $x$ (100冊/1day)	確率 $P(X=x)$
0	0.1
1	0.3
2	0.4
3	0.15
4	0.05

期待値 $\mathbb{E}(X)$ は、以下の式で求められます。

\[ \mathbb{E}(X) = 0 \cdot 0.1 + 1 \cdot 0.3 + 2 \cdot 0.4 + 3 \cdot 0.15 + 4 \cdot 0.05 \]
\[ \mathbb{E}(X) = 0 + 0.3 + 0.8 + 0.45 + 0.2 = 1.75 \]

分散 $\mathbb{V}(X)$ は以下の式で求められます。
\[ \mathbb{V}(X) = \mathbb{E}(X^2) – (\mathbb{E}(X))^2 \]

まず、$\mathbb{E}(X^2)$ を計算します。
\[ \mathbb{E}(X^2) = \sum_{x} x^2 \cdot P(X=x) \]
\[ \mathbb{E}(X^2) = 0^2 \cdot 0.1 + 1^2 \cdot 0.3 + 2^2 \cdot 0.4 + 3^2 \cdot 0.15 + 4^2 \cdot 0.05 \]
\[ \mathbb{E}(X^2) = 0 + 0.5 + 1.6 + 1.35 + 0.8 = 4.05 \]

次に、分散を計算します。
\[ \mathbb{V}(X) = 4.05 – (1.75)^2 = 4.05 – 3.0625 = 0.9875 \]

3.2. 問題 2: 売れるジャンルの本の問題

ある出版社では、出版している本が売れる確率がジャンルによって異なります。以下は、出版された本のジャンルとそのジャンルごとの売り上げ本数 $X$ の確率分布です。このとき、小説、ビジネス書、自己啓発書それぞれの売り上げ本数 $X$ の期待値と分散を求めてください。

ジャンル	売り上げ本数 $X$	確率 $P(X=x)$
小説	0	0.2
	1	0.5
	2	0.3
ビジネス書	0	0.1
	1	0.6
	2	0.3
自己啓発書	0	0.3
	1	0.4
	2	0.3

3.2.1. 小説の期待値と分散

期待値 $\mathbb{E}(X)$: \[ \mathbb{E}(X) = 0 \cdot 0.2 + 1 \cdot 0.5 + 2 \cdot 0.3 = 0 + 0.5 + 0.6 = 1.1 \]

分散 $\mathbb{V}(X)$: \[ \mathbb{E}(X^2) = 0^2 \cdot 0.2 + 1^2 \cdot 0.5 + 2^2 \cdot 0.3 = 0 + 0.5 + 1.2 = 1.7 \] \[ \mathbb{V}(X) = 1.7 – (1.1)^2 = 1.7 – 1.21 = 0.49 \]

3.2.2. ビジネス書の期待値と分散

期待値 $\mathbb{E}(X)$: \[ \mathbb{E}(X) = 0 \cdot 0.1 + 1 \cdot 0.6 + 2 \cdot 0.3 = 0 + 0.6 + 0.6 = 1.2 \]

分散 $\mathbb{V}(X)$: \[ \mathbb{E}(X^2) = 0^2 \cdot 0.1 + 1^2 \cdot 0.6 + 2^2 \cdot 0.3 = 0 + 0.6 + 1.2 = 1.8 \] \[ \mathbb{V}(X) = 1.8 – (1.2)^2 = 1.8 – 1.44 = 0.36 \]

3.2.3. 自己啓発書の期待値と分散

期待値 $\mathbb{E}(X)$: \[ \mathbb{E}(X) = 0 \cdot 0.3 + 1 \cdot 0.4 + 2 \cdot 0.3 = 0 + 0.4 + 0.6 = 1.0 \]

分散 $\mathbb{V}(X)$: \[ \mathbb{E}(X^2) = 0^2 \cdot 0.3 + 1^2 \cdot 0.4 + 2^2 \cdot 0.3 = 0 + 0.4 + 1.2 = 1.6 \] \[ \mathbb{V}(X) = 1.6 – (1.0)^2 = 1.6 – 1 = 0.6 \]