離散型確率分布の意味と性質について
1. はじめに
確率分布は、確率変数がとりうる値とその確率を表すものです。確率分布には、大きく分けて離散型確率分布と連続型確率分布の2種類があります。
2. 離散型確率分布の定義
離散型確率分布とは、確率変数 \(X\) が離散的な値をとる場合の確率分布を指します。確率質量関数（PMF: Probability Mass Function）\( P(X=x) \) によって定義され、次の条件を満たします。
- \( 0 \leq P(X=x) \leq 1 \)（すべての確率は0以上1以下）
- \( \sum_{x} P(X=x) = 1 \)（確率の総和は1）
3. 代表的な離散型確率分布
離散型確率分布にはさまざまな種類があり、それぞれ特定の性質を持っています。以下に代表的な分布を紹介します。
3.1. ベルヌーイ分布
ある試行が成功（1）または失敗（0）の2つの結果を持つベルヌーイ試行に、確率変数 \(X\) が従う分布です。
確率質量関数（PMF）: \[ P(X=x) = p^x (1-p)^{1-x}, \quad x \in \{0,1\}, \quad 0 \leq p \leq 1 \]
期待値と分散: \[ E[X] = p, \quad \text{Var}(X) = p(1-p) \]
3.2. 二項分布
二項分布は\( n \) 回の独立なベルヌーイ試行で成功する回数を表す確率変数が従う分布です。
確率質量関数（PMF）: \[ P(X=k) = _n\mathrm{C} _k p^k (1-p)^{n-k}, \quad k=0,1,2,\dots,n \]
期待値と分散: \[ E[X] = np, \quad \text{Var}(X) = np(1-p) \]
3.3. 幾何分布
幾何分布はベルヌーイ試行を繰り返し、初めて成功するまでの試行回数が従う分布です。
確率質量関数（PMF）: \[ P(X=k) = (1-p)^{k-1} p, \quad k=1,2,3,\dots \]
期待値と分散: \[ E[X] = \frac{1}{p}, \quad \text{Var}(X) = \frac{1-p}{p^2} \]
3.4. ポアソン分布
ポアソン分布は一定の時間や空間において、ある事象が発生する回数を表す分布です。
確率質量関数（PMF）: \[ P(X=k) = \frac{\lambda^k e^{-\lambda}}{k!}, \quad k=0,1,2,\dots, \lambda > 0 \]
期待値と分散: \[ E[X] = \lambda, \quad \text{Var}(X) = \lambda \]
