分布関数の意味と性質、例題について
1. 分布関数とは？
分布関数は、確率変数 \( X \) がある値 \( x \) 以下になる確率を示す関数です。数式で表すと以下のようになります。
\[ F(x) = P(X \leq x) \]
2. 分布関数の性質
分布関数の特徴として、以下の性質が挙げられます：
- 単調非減少：\( x \) が増加するにつれて、\( F(x) \) も増加または一定を保ちます。
- 値域は [0, 1]：分布関数の値は常に 0 以上 1 以下の範囲に収まります。
- 境界条件：\( \displaystyle\lim_{x \to -\infty} F(x) = 0 \) および \( \displaystyle\lim_{x \to \infty} F(x) = 1 \)。
3. 分布関数の種類
分布関数は、確率変数の種類に応じて次の2つに分類されます。
3.1. 離散分布の場合
離散型の確率変数（例：サイコロの目）は、特定の値をとる確率が直接計算されます。例えば、サイコロの出目 \( X \) に対する分布関数は次のように表されます。
\[ F(x) = \begin{cases} 0 & (x < 1) \\ \frac{1}{6} & (1 \leq x < 2) \\ \frac{2}{6} & (2 \leq x < 3) \\ \ldots \\ 1 & (x \geq 6) \end{cases} \]
3.2. 連続分布の場合
連続型の確率変数（例：身長や体重）は、特定の値をとる確率が 0 であり、ある範囲に収まる確率を積分によって求めます。正規分布のような連続型の分布関数 \( F(x) \) は次のように計算されます：
\[ F(x) = \int_{-\infty}^{x} \frac{1}{\sqrt{2\pi\sigma^2}} \exp\left(-\frac{(t-\mu)^2}{2\sigma^2}\right) dt \]
4. 例題
4.1. 連続型の例題
確率密度関数が次のように与えられています：
\[ f(x) = \begin{cases} 2x & (0 \leq x \leq 1) \\ 0 & (\text{それ以外}) \end{cases} \]
この分布の分布関数 \( F(x) \) を求めよ。
分布関数 \( F(x) \) は、次のように \( f(x) \) を積分して求めます。
- \( x < 0 \) の場合： \[ F(x) = \int_{-\infty}^x f(t) \, dt = 0 \]
- \( 0 \leq x \leq 1 \) の場合： \[ F(x) = \int_{0}^x 2t \, dt = \left[ t^2 \right]_0^x = x^2 \]
- \( x > 1 \) の場合： \[ F(x) = \int_{0}^1 2t \, dt = 1 \]
したがって、分布関数は次のようになります：
\[ F(x) = \begin{cases} 0 & (x < 0) \\ x^2 & (0 \leq x \leq 1) \\ 1 & (x > 1) \end{cases} \]
4.2. 離散型の例題
ある店舗で、特定の商品が1日に販売される個数 \( X \) の確率分布が次のように与えられています：
| 個数 \( X \) | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 |
|---|---|---|---|---|---|
| 確率 \( P(X) \) | 0.1 | 0.3 | 0.4 | 0.1 | 0.1 |
- この確率分布の累積分布関数（CDF）を求めてください。
- 1日に販売される個数が2個以下である確率を求めてください。
- 1日に販売される個数が3個以上である確率を求めてください。
- 期待値（平均値）を求めてください。
4.2.1. (1) 累積分布関数（CDF）を求める
累積分布関数 \( F(x) \) は、ある値 \( x \) 以下の確率の合計を計算することで求めます。
\[ F(x) = P(X \leq x) \]
| 個数 \( X \) | 確率 \( P(X) \) | 累積確率 \( F(X) \) |
|---|---|---|
| 0 | 0.1 | \( F(0) = 0.1 \) |
| 1 | 0.3 | \( F(1) = 0.1 + 0.3 = 0.4 \) |
| 2 | 0.4 | \( F(2) = 0.4 + 0.4 = 0.8 \) |
| 3 | 0.1 | \( F(3) = 0.8 + 0.1 = 0.9 \) |
| 4 | 0.1 | \( F(4) = 0.9 + 0.1 = 1.0 \) |
よって、累積分布関数は次のようになります：
\[ F(x) = \begin{cases} 0 & (x < 0) \\ 0.1 & (0 \leq x < 1) \\ 0.4 & (1 \leq x < 2) \\ 0.8 & (2 \leq x < 3) \\ 0.9 & (3 \leq x < 4) \\ 1.0 & (x \geq 4) \end{cases} \]
4.2.2. 1日に販売される個数が2個以下である確率
\( P(X \leq 2) \) を求めます。これは累積確率 \( F(2) \) に等しいため：
\[ P(X \leq 2) = F(2) = 0.8 \]
よって、答えは 0.8（80%）。
4.2.3. 1日に販売される個数が3個以上である確率
\( P(X \geq 3) \) を求めます。これは \( 1 - F(2) \) で計算できます（全体の確率から2個以下の確率を引く）：
\[ P(X \geq 3) = 1 - F(2) = 1 - 0.8 = 0.2 \]
よって、答えは 0.2（20%）。
4.2.4. 期待値（平均値）を求める
期待値 \( E(X) \) は次の公式で求めます：
\[ E(X) = \sum_{x} x \cdot P(X=x) \]
具体的に計算すると：
\[ E(X) = (0 \cdot 0.1) + (1 \cdot 0.3) + (2 \cdot 0.4) + (3 \cdot 0.1) + (4 \cdot 0.1) \]
\[ E(X) = 0 + 0.3 + 0.8 + 0.3 + 0.4 = 1.8 \]
よって、期待値は 1.8個。
