内分点と外分点の意味、内分点・外分点の公式の一覧について
1. 内分点とは
内分点とは、2点 \(A\) と \(B\) を結ぶ線分上のある点 \(P\) が、その線分を特定の比で分けることを指します。具体的には、点 \(P\) が線分 \(AB\) を \(m:n\) の比で分けるとき、点 \(P\) を 内分点 といいます。
1.1. 内分点の例
$AB$を$4:1$で内分する点を$Ｐ$とする。$AB=50$のとき、$AP=40,BP=10$となる。
2. 内分点の公式
2.1. 内分点の座標
\[ P(x, y) = \left( \frac{n x_1 + m x_2}{m + n}, \frac{n y_1 + m y_2}{m + n} \right) \]
詳しくは次の記事で解説しています。
2.2. ベクトルを用いた表現
\[ \vec{p} = \frac{n \vec{a} + m \vec{b}}{m + n} \]
詳しくは次の記事で解説しています。
2.3. 複素数を用いた内分点
\[ z = \frac{n z_1 + m z_2}{m + n} \]
3. 外分点とは
外分点とは、2点 \(A\) と \(B\) を結ぶ線分を延長したとき、その延長上にある点 \(Q\) が線分を特定の比で分けることを指します。この場合、点 \(Q\) を 外分点 といいます。
3.1. 外分点の例
$AB$を$10:1$で外分する点を$Q$とする。$AQ=50$のとき、外分比が $10:1$ のとき、
\[ AQ : QB = 10 : 1 \]
より、$QB$ は次のようになります。
\[ QB = \frac{AQ}{10} = \frac{50}{10}=5 \]
したがって、全体の長さ $AB$ は次のように求められます。
\[ AB = AQ – QB = 50 -5= 45 \]
4. 外分点の公式
4.1. 外分点の座標
\[ P(x, y) = \left( \frac{n x_1 – m x_2}{n – m}, \frac{n y_1 – m y_2}{n – m} \right) \]
4.2. ベクトルを用いた表現
\[ \vec{p} = \frac{n \vec{a} – m \vec{b}}{n – m} \]
詳しくは次の記事で解説しています。
4.3. 複素数を用いた外分点
\[ z = \frac{n z_1 – m z_2}{n – m} \]
5. 内分点と外分点の違い
内分点と外分点の主な違いは、その位置です。内分点は線分の間に存在し、外分点は線分を延長した位置にあります。
