更新:2024/09/23

【図解】ド・モアブルの定理の証明と負の場合について

はるか
はるか
ド・モアブルの定理の話か。定理自体はシンプルなんだけど、証明が面白い。
ふゅか
ふゅか
うん、ド・モアブルの定理は複素数の極形式を使ってるから、初めて見ると少しびっくりするかもしれないけど、すごく便利よね。

1. ド・モアブルの定理

n0n \geq 0nnが整数のとき、

(cosθ+isinθ)n=cosnθ+isinnθ(\cos\theta+i\sin\theta)^n=\cos n\theta +i \sin n \theta

を満たす。

はるか
はるか
ド・モアブルの定理って、複素数のべき乗を簡単に計算する。
ふゅか
ふゅか
実は、複素数平面上で回転を表しているの。具体的には、角度をn倍することで新しい位置が求められるのよ。

1.1. 対応関係図

ド・モアブルの定理を数式で色分けすると以下のようになります。
ド・モアブルの定理の関係図

1.2. 数学的帰納法による証明

数学的帰納法を利用して証明する。

n=0n=0のとき、

(cosθ+isinθ)0=1(\cos\theta+i\sin\theta)^0=1

cos0+isin0=1\cos 0 +i \sin 0=1

したがって、n=0の時成り立つ。

n=kn=kのとき、

(cosθ+isinθ)k=coskθ+isinkθ(\cos\theta+i\sin\theta)^k=\cos k\theta +i \sin k \theta

を満たすと仮定する。

n=k+1n=k+1のとき、

(cosθ+isinθ)k+1cos(k+1)θisin(k+1)θ(\cos\theta+i\sin\theta)^{k+1}-\cos (k+1)\theta -i \sin (k+1) \theta

=(cosθ+isinθ)(coskθ+isinkθ)cos(k+1)θisin(k+1)θ=(\cos\theta+i\sin\theta)(\cos k\theta+i\sin k\theta)-\cos(k+1)\theta - i\sin(k+1)\theta

加法定理より、

=coskθcosθsinkθsinθ+i(sinkθ+sinθcoskθ) (coskθcosθsinkθsinθ)i(sinkθcosθ+sinθcoskθ)=\cos k\theta\cos\theta -\sin k\theta\sin\theta +i(\sin k\theta+\sin\theta\cos k\theta)  -(\cos k\theta \cos \theta -\sin k\theta\sin\theta )-i(\sin k\theta \cos\theta+\sin\theta\cos k\theta)

=0=0

(cosθ+isinθ)k+1=cos(k+1)θ+isin(k+1)θ\therefore (\cos\theta+i\sin\theta)^{k+1}=\cos (k+1)\theta +i \sin (k+1) \theta

したがって、n=k+1n=k+1の時も成り立つ。

数学的帰納法により、n0n \geq 0のとき、

(cosθ+isinθ)n=cosnθ+isinnθ(\cos\theta+i\sin\theta)^n=\cos n\theta +i \sin n \theta

が成り立つ。

1.3. オイラーの公式による確認

オイラーの公式 eiθ=cosθ+isinθe^{i\theta}=\cos\theta+i\sin\thetaより、

(cosθ+isinθ)n(\cos\theta+i\sin\theta)^n

=(eiθ)n=(e^{i\theta})^n

=einθ=e^{in\theta}

=cosnθ+isinnθ=\cos n\theta +i \sin n \theta

(cosθ+isinθ)n=cosnθ+isinnθ\therefore(\cos\theta+i\sin\theta)^n=\cos n\theta +i \sin n\theta

2. マイナスのとき

ド・モアブルの定理は実はマイナスのときも成り立ちます。2通りの証明方法で示したいと思います。

2.1. n<0とするときの証明

n<0n<0であるとすると、

(cosθ+isinθ)n=1(cosθ+isinθ)n(\cos\theta + i \sin\theta)^{n}=\dfrac{1}{(\cos\theta+i\sin\theta)^{-n}}

n>0-n>0より、ド・モアブルの定理が成り立つため、

=1(cosθ+isinθ)n=\dfrac{1}{(\cos\theta+i\sin\theta)^{-n}}

=1cos(n)θ+isin(n)θ=\dfrac{1}{\cos(-n)\theta+i\sin(-n)\theta}

分子分母にcos(n)θisin(n)θ\cos(-n)\theta-i\sin(-n)\thetaをかけると、

=cos(n)θisin(n)θ(cos(n)θ+isin(n)θ)(cos(n)θisin(n)θ)=\dfrac{\cos(-n)\theta-i\sin(-n)\theta}{(\cos(-n)\theta+i\sin(-n)\theta)(\cos(-n)\theta-i\sin(-n)\theta)}

=cos(n)θisin(n)θcos2(n)θ+sin2(n)θ=\dfrac{\cos(-n)\theta-i\sin(-n)\theta}{\cos^2(-n)\theta+\sin^2(-n)\theta}

=cos(n)θisin(n)θ=\cos(-n)\theta-i\sin(-n)\theta

cosnθ=cos(n)θ\cos n\theta=\cos (-n)\thetasinnθ=sin(n)θ\sin n\theta=-\sin (-n)\thetaとなるから、

=cos(n)θisin(n)θ=\cos(-n)\theta-i\sin(-n)\theta

=cosnθ+isinnθ=\cos n\theta+i\sin n\theta

となる。よって、n<0のときも、ド・モアブルの定理は成り立つ。

2.2. n>0とするときの証明

n<0-n<0であるとすると、

(cosθ+isinθ)n=1(cosθ+isinθ)n(\cos\theta + i \sin\theta)^{-n}=\dfrac{1}{(\cos\theta+i\sin\theta)^{n}}

n>0n>0より、ド・モアブルの定理が成り立つため、

=1(cosθ+isinθ)n=\dfrac{1}{(\cos\theta+i\sin\theta)^{n}}

=1cosnθ+isinnθ=\dfrac{1}{\cos n\theta+i\sin n\theta}

分子分母にcosnθisinnθ\cos n\theta-i\sin n \thetaをかけると、

=cosnθisinnθ(cosnθ+isinnθ)(cosnθisinnθ=\dfrac{\cos n\theta-i\sin n \theta}{(\cos n\theta+i\sin n\theta)(\cos n\theta-i\sin n \theta}

=cosnθisinnθcos2nθ+sin2nθ=\dfrac{\cos n\theta-i\sin n \theta}{\cos^2 n \theta+\sin^2 n \theta}

=cosnθisinnθ=\cos n\theta-i\sin n \theta

cosnθ=cos(n)θ\cos n\theta=\cos (-n)\thetasinnθ=sin(n)θ\sin n\theta=-\sin (-n)\thetaとなるから、

=cos(n)θ+isin(n)θ=\cos(-n)\theta+i\sin(-n)\theta

となる。よって、

(cosnθ+isinnθ)n=cos(n)θ+isin(n)θ(\cos n \theta+i\sin n \theta)^{-n}=\cos(-n)\theta+i\sin(-n)\theta

となり、ド・モアブルの定理は成り立つ。

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