はるか
ド・モアブルの定理の話か。定理自体はシンプルなんだけど、証明が面白い。
ふゅか
うん、ド・モアブルの定理は複素数の極形式を使ってるから、初めて見ると少しびっくりするかもしれないけど、すごく便利よね。
1. ド・モアブルの定理
n≥0、
nが整数のとき、
(cosθ+isinθ)n=cosnθ+isinnθ
を満たす。
はるか
ド・モアブルの定理って、複素数のべき乗を簡単に計算する。
ふゅか
実は、
複素数平面上で回転を表しているの。具体的には、角度をn倍することで新しい位置が求められるのよ。
1.1. 対応関係図
ド・モアブルの定理を数式で色分けすると以下のようになります。

1.2. 数学的帰納法による証明
数学的帰納法を利用して証明する。
n=0のとき、
(cosθ+isinθ)0=1
cos0+isin0=1
したがって、n=0の時成り立つ。
n=kのとき、
(cosθ+isinθ)k=coskθ+isinkθ
を満たすと仮定する。
n=k+1のとき、
(cosθ+isinθ)k+1−cos(k+1)θ−isin(k+1)θ
=(cosθ+isinθ)(coskθ+isinkθ)−cos(k+1)θ−isin(k+1)θ
加法定理より、
=coskθcosθ−sinkθsinθ+i(sinkθ+sinθcoskθ) −(coskθcosθ−sinkθsinθ)−i(sinkθcosθ+sinθcoskθ)
=0
∴(cosθ+isinθ)k+1=cos(k+1)θ+isin(k+1)θ
したがって、n=k+1の時も成り立つ。
数学的帰納法により、n≥0のとき、
(cosθ+isinθ)n=cosnθ+isinnθ
が成り立つ。
1.3. オイラーの公式による確認
オイラーの公式 eiθ=cosθ+isinθより、
(cosθ+isinθ)n
=(eiθ)n
=einθ
=cosnθ+isinnθ
∴(cosθ+isinθ)n=cosnθ+isinnθ
2. マイナスのとき
ド・モアブルの定理は実はマイナスのときも成り立ちます。2通りの証明方法で示したいと思います。
2.1. n<0とするときの証明
n<0であるとすると、
(cosθ+isinθ)n=(cosθ+isinθ)−n1
−n>0より、ド・モアブルの定理が成り立つため、
=(cosθ+isinθ)−n1
=cos(−n)θ+isin(−n)θ1
分子分母にcos(−n)θ−isin(−n)θをかけると、
=(cos(−n)θ+isin(−n)θ)(cos(−n)θ−isin(−n)θ)cos(−n)θ−isin(−n)θ
=cos2(−n)θ+sin2(−n)θcos(−n)θ−isin(−n)θ
=cos(−n)θ−isin(−n)θ
cosnθ=cos(−n)θ、sinnθ=−sin(−n)θとなるから、
=cos(−n)θ−isin(−n)θ
=cosnθ+isinnθ
となる。よって、n<0のときも、ド・モアブルの定理は成り立つ。
2.2. n>0とするときの証明
−n<0であるとすると、
(cosθ+isinθ)−n=(cosθ+isinθ)n1
n>0より、ド・モアブルの定理が成り立つため、
=(cosθ+isinθ)n1
=cosnθ+isinnθ1
分子分母にcosnθ−isinnθをかけると、
=(cosnθ+isinnθ)(cosnθ−isinnθcosnθ−isinnθ
=cos2nθ+sin2nθcosnθ−isinnθ
=cosnθ−isinnθ
cosnθ=cos(−n)θ、sinnθ=−sin(−n)θとなるから、
=cos(−n)θ+isin(−n)θ
となる。よって、
(cosnθ+isinnθ)−n=cos(−n)θ+isin(−n)θ
となり、ド・モアブルの定理は成り立つ。