2倍角の公式の2通りの証明と例題について
1. 2倍角の公式
2倍角の公式（倍角の公式）は、三角関数の角度を2倍にしたときの値を表す公式です。主に以下の三つがよく使われます。
1.1. sinの2倍角の公式
1.2. cosの2倍角の公式
この公式には複数の形もあり、三角関数の関係式$\cos^2\theta + \sin^2\theta =1$を使って変形できます。
1.3. tanの2倍角の公式
2. 2倍角の公式の証明
2.1. 証明 1: 三角関数の加法定理を使った証明
まず、$\sin 2\theta$を計算する。
\[ \sin 2\theta = \sin(\theta + \theta) \]
三角関数の加法定理より、
\[ \begin{align*}\sin(\theta + \theta) &= \sin\theta\cos\theta + \cos\theta\sin\theta \\ &= 2\sin\theta\cos\theta \end{align*}\]
これで、\(\sin 2\theta = 2\sin\theta\cos\theta\)が証明されました。
次に、$\cos 2\theta$を計算する。
\[ \cos 2\theta = \cos(\theta + \theta) \]
三角関数の加法定理より、
\[ \begin{align*}\cos(\theta + \theta) &= \cos\theta\cos\theta – \sin\theta\sin\theta \\ &= \cos^2\theta – \sin^2\theta\end{align*}\]
$\cos^2\theta =1- \sin^2\theta$より、
\[ \begin{align*}\cos(\theta + \theta) &= \cos^2\theta – \sin^2\theta \\ &= 1-\sin^2\theta – \sin^2\theta\\ &= 1-2\sin^2\theta \end{align*} \]
一方で、$\sin^2\theta =1- \cos^2\theta$より、
\[ \begin{align*}\cos(\theta + \theta) &= \cos^2\theta – \sin^2\theta \\ &= \cos^2\theta – (1- \cos^2\theta)\\ &= 2\cos^2\theta – 1 \end{align*} \]
$\tan 2\theta$を計算する。
\[ \tan 2\theta = \tan(\theta + \theta) \]
三角関数の加法定理より、
\[ \begin{align*}\tan (\theta + \theta) &= \dfrac{\tan\theta+\tan\theta}{1-\tan^2\theta} \\ &= \dfrac{2\tan\theta}{1-\tan^2\theta} \end{align*}\]
2.2. 証明 2: ド・モアブルの定理を使った証明
ド・モアブルの定理より、
\[ (\cos\theta + i\sin\theta)^2 = \cos2\theta + i\sin2\theta \]
$ (\cos\theta + i\sin\theta)^2$を展開します。
\[ (\cos\theta + i\sin\theta)^2 = \cos^2\theta + 2i\cos\theta\sin\theta – \sin^2\theta \]
実部と虚部に分けると、
\[ \cos2\theta + i\sin2\theta = (\cos^2\theta – \sin^2\theta) + i(2\cos\theta\sin\theta) \]
虚部に注目すると、\(\sin 2\theta = 2\sin\theta\cos\theta\)が導かれます。
同様に、実部に注目すると、\(\cos 2\theta = \cos^2\theta – \sin^2\theta\)が導かれます。
以上で、2倍角の公式を2通りの方法で証明しました。
3. 例題
3.1. 例題 1:計算
まず、 \( \theta= \frac{\pi}{6} \) のときの \( \sin \frac{\pi}{6} \) と \( \cos \frac{\pi}{6} \) の値を使います。
\[ \sin \frac{\pi}{6}= \frac{1}{2}, \quad \cos \frac{\pi}{6} = \frac{\sqrt{3}}{2} \]
これを2倍角の公式 \( \sin 2\theta = 2 \sin\theta \cos \theta \) に代入すると、
\[ \sin 2\theta = 2 \times \frac{1}{2} \times \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{\sqrt{3}}{2} \]
したがって、\( \sin 2\theta = \frac{\sqrt{3}}{2} \) です。
3.2. 例題 2:三角関数を含む方程式
まず、 \( \sin 2\theta \) を二重角の公式を使って展開します。
\[ \sin 2\theta = 2\sin\theta\cos\theta \]
したがって、方程式は次のように変形されます。
\[ 2\sin\theta\cos\theta + \sin\theta = 0 \]
次に、 \( \sin\theta \) を共通因数としてくくり出します。
\[ \sin\theta(2\cos\theta + 1) = 0 \]
この方程式を満たすのは、次の2つの条件です。
- \( \sin\theta = 0 \)
- \( 2\cos\theta + 1 = 0 \)
\( \sin\theta = 0 \) となるのは \( \theta = 0, \pi\) のときです。
\( 2\cos\theta + 1 = 0 \)より、
\[ \cos\theta = -\frac{1}{2} \]
\( \cos\theta = -\frac{1}{2} \) となる \( \theta \) は、\( \theta = \frac{2\pi}{3}, \frac{4\pi}{3} \) です。
したがって、求める \( \theta \) は次の値です。
\[ \theta = 0, \pi,\frac{2\pi}{3}, \frac{4\pi}{3} \]
