更新:2025/01/02

【信号処理】離散時間フーリエ変換(DTFT)の意味と例題について

はるか
はるか
DTFTってさ、離散時間信号を変換する。
ふゅか
ふゅか
時間のデータを周波数に変換できるんだよね!離散時間から連続時間に変換するんだよね!

1. 離散時間フーリエ変換

離散時間フーリエ変換(Discrete-Time Fourier Transform, DTFT)は、離散時間信号の周波数特性を分析するための重要なツールです。DTFTは、無限に長い離散時間信号連続的な周波数領域に変換するもので、時間領域の信号を周波数領域で表現します。

1.1. 定義

離散時間信号 \( x[n] \)に対してDTFT は次のように定義されます。

\[ X(e^{j\omega}) = \sum_{n=-\infty}^{\infty} x[n] e^{-j\omega n} \]

ここで、\( \omega \) は角周波数で、通常 \( -\pi \leq \omega \leq \pi \) の範囲で定義されます。$j$は虚数単位です。

2. 特徴

2.1. 周波数領域での連続性

DTFT は連続的な周波数領域で定義されるため、フーリエ級数や離散フーリエ変換(DFT)とは異なり、周波数の間隔は連続しています。

2.2. 無限長の信号

DTFT は、無限に長い信号に対して適用されるため、計算上は近似や数値的な方法で評価されます。

2.3. 周期性

DTFT は \( 2\pi \) の周期性を持ちます。すなわち、\( X(\omega + 2\pi) = X(\omega) \) が成り立ちます。

2.4. 逆変換

DTFT の逆変換を用いて、時間領域の信号を元に戻すことができます。逆変換は次のように定義されます。

\[ x[n] = \frac{1}{2\pi} \int_{-\pi}^{\pi} X(\omega) e^{j\omega n} d\omega \]

3. デルタ関数と離散時間フーリエ変換

3.1. デルタ関数のDTFT

デルタ関数 \( \delta[n] \) のDTFTを求めると、次のようになります:

\[ X(\omega) = \sum_{n=-\infty}^{\infty} \delta[n] e^{-j\omega n} \]

デルタ関数の性質から、非ゼロの値は \( n = 0 \) のみで、それ以外ではゼロになるため:

\[ X(\omega) = e^{-j\omega \cdot 0} = 1 \]

つまり、デルタ関数のDTFTは周波数領域では定数1になります。

3.2. 逆DTFTとデルタ関数

周波数領域での定数1( \( X(\omega) = 1 \) )を逆DTFTで時間領域に変換すると、デルタ関数が得られます:

\[ x[n] = \frac{1}{2\pi} \int_{-\pi}^{\pi} 1 \cdot e^{j\omega n} d\omega \]

この積分は次の形になります。

\[ x[n] = \delta[n] \]

4. DTFTの計算問題

4.1. 例題1

関数 \( f[n] \) は次のように定義されています。このとき、DTFTを計算しなさい。

\[ f[n]= \delta[n - 1] + \delta[n + 1] \]

ここで、\(\delta[n]\) はデルタ関数である。

\[ \begin{align*} F(\omega) &= \sum_{n=-\infty}^{\infty} \left(\delta[n - 1] + \delta[n + 1] \right) e^{-j \omega n} \\ &=\sum_{n=-\infty}^{\infty} \delta[n - 1]e^{-j \omega n} + \sum_{n=-\infty}^{\infty} \delta[n + 1]e^{-j \omega n} \end{align*}\]

次のように計算できます。

\[ \sum_{n=-\infty}^{\infty} \delta[n - 1]e^{-j \omega n} = e^{-j \omega \cdot 1} = e^{-j \omega} \]

\[ \sum_{n=-\infty}^{\infty} \delta[n + 1]e^{-j \omega n} = e^{-j \omega \cdot (-1)} = e^{j \omega} \]

それぞれの結果を足し合わせます。

\[ F(\omega) = e^{-j \omega} + e^{j \omega} \]

したがって、オイラーの公式より、

\[ F(\omega) = 2\cos(\omega) \]

4.2. 例題2

関数 \( f[n] \) は次のように定義されています。このとき、DTFTを計算しなさい。

\[ f[n] = -\delta[n - 1] + \delta[n + 1] \]

ここで、\(\delta[n]\) はデルタ関数である。

\[ \begin{align*}F(\omega) &= \sum_{n=-\infty}^\infty \left( -\delta[n - 1] + \delta[n + 1] \right) e^{-j \omega n} \\ &= -\sum_{n=-\infty}^\infty \delta[n - 1]e^{-j \omega n} + \sum_{n=-\infty}^\infty \delta[n + 1]e^{-j \omega n}\end{align*}\]

各項を計算します。

\[ -\sum_{n=-\infty}^\infty \delta[n - 1]e^{-j \omega n} = -e^{-j \omega \cdot 1} = -e^{-j \omega} \]

\[ \sum_{n=-\infty}^\infty \delta[n + 1]e^{-j \omega n} = e^{-j \omega \cdot (-1)} = e^{j \omega} \]

オイラーの公式より、

\[ F(\omega) = 2j \sin(\omega) \]

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