【信号処理】離散時間フーリエ変換（DTFT）の意味と例題について
1. 離散時間フーリエ変換
離散時間フーリエ変換（Discrete-Time Fourier Transform, DTFT）は、離散時間信号の周波数特性を分析するための重要なツールです。DTFTは、無限に長い離散時間信号を連続的な周波数領域に変換するもので、時間領域の信号を周波数領域で表現します。
1.1. 定義
離散時間信号 \( x[n] \)に対してDTFT は次のように定義されます。
\[ X(e^{j\omega}) = \sum_{n=-\infty}^{\infty} x[n] e^{-j\omega n} \]
ここで、\( \omega \) は角周波数で、通常 \( -\pi \leq \omega \leq \pi \) の範囲で定義されます。$j$は虚数単位です。
2. 特徴
2.1. 周波数領域での連続性
DTFT は連続的な周波数領域で定義されるため、フーリエ級数や離散フーリエ変換（DFT）とは異なり、周波数の間隔は連続しています。
2.2. 無限長の信号
DTFT は、無限に長い信号に対して適用されるため、計算上は近似や数値的な方法で評価されます。
2.3. 周期性
DTFT は \( 2\pi \) の周期性を持ちます。すなわち、\( X(\omega + 2\pi) = X(\omega) \) が成り立ちます。
2.4. 逆変換
\[ x[n] = \frac{1}{2\pi} \int_{-\pi}^{\pi} X(\omega) e^{j\omega n} d\omega \]
3. デルタ関数と離散時間フーリエ変換
3.1. デルタ関数のDTFT
デルタ関数 \( \delta[n] \) のDTFTを求めると、次のようになります：
\[ X(\omega) = \sum_{n=-\infty}^{\infty} \delta[n] e^{-j\omega n} \]
デルタ関数の性質から、非ゼロの値は \( n = 0 \) のみで、それ以外ではゼロになるため：
\[ X(\omega) = e^{-j\omega \cdot 0} = 1 \]
つまり、デルタ関数のDTFTは周波数領域では定数1になります。
3.2. 逆DTFTとデルタ関数
周波数領域での定数1（ \( X(\omega) = 1 \) ）を逆DTFTで時間領域に変換すると、デルタ関数が得られます：
\[ x[n] = \frac{1}{2\pi} \int_{-\pi}^{\pi} 1 \cdot e^{j\omega n} d\omega \]
この積分は次の形になります。
\[ x[n] = \delta[n] \]
4. DTFTの計算問題
4.1. 例題1
\[ f[n]= \delta[n - 1] + \delta[n + 1] \]
ここで、\(\delta[n]\) はデルタ関数である。
\[ \begin{align*} F(\omega) &= \sum_{n=-\infty}^{\infty} \left(\delta[n - 1] + \delta[n + 1] \right) e^{-j \omega n} \\ &=\sum_{n=-\infty}^{\infty} \delta[n - 1]e^{-j \omega n} + \sum_{n=-\infty}^{\infty} \delta[n + 1]e^{-j \omega n} \end{align*}\]
次のように計算できます。
\[ \sum_{n=-\infty}^{\infty} \delta[n - 1]e^{-j \omega n} = e^{-j \omega \cdot 1} = e^{-j \omega} \]
\[ \sum_{n=-\infty}^{\infty} \delta[n + 1]e^{-j \omega n} = e^{-j \omega \cdot (-1)} = e^{j \omega} \]
それぞれの結果を足し合わせます。
\[ F(\omega) = e^{-j \omega} + e^{j \omega} \]
したがって、オイラーの公式より、
\[ F(\omega) = 2\cos(\omega) \]
4.2. 例題2
関数 \( f[n] \) は次のように定義されています。このとき、DTFTを計算しなさい。
\[ f[n] = -\delta[n - 1] + \delta[n + 1] \]
ここで、\(\delta[n]\) はデルタ関数である。
\[ \begin{align*}F(\omega) &= \sum_{n=-\infty}^\infty \left( -\delta[n - 1] + \delta[n + 1] \right) e^{-j \omega n} \\ &= -\sum_{n=-\infty}^\infty \delta[n - 1]e^{-j \omega n} + \sum_{n=-\infty}^\infty \delta[n + 1]e^{-j \omega n}\end{align*}\]
各項を計算します。
\[ -\sum_{n=-\infty}^\infty \delta[n - 1]e^{-j \omega n} = -e^{-j \omega \cdot 1} = -e^{-j \omega} \]
\[ \sum_{n=-\infty}^\infty \delta[n + 1]e^{-j \omega n} = e^{-j \omega \cdot (-1)} = e^{j \omega} \]
オイラーの公式より、
\[ F(\omega) = 2j \sin(\omega) \]
