減衰曲線e^{-x}sinxとe^{-x}cosxの極限・微分・積分・グラフについて

1. 極限

1.1. \( x \to \infty \) のときの極限

\( e^{-x}\sin x \) や \( e^{-x}\cos x \) はともに \( e^{-x} \) が指数関数であり、 0 に収束するため、 \( \sin x \) や \( \cos x \) によらず 0 に収束します。 \[ \lim_{x \to \infty} e^{-x}\sin x = 0, \quad \lim_{x \to \infty} e^{-x}\cos x = 0 \]

1.2. \( x \to -\infty \) のときの極限

\( x \to -\infty \) の場合、指数関数 \( e^{-x} \) が無限大に発散するため、\( \sin x \) や \( \cos x \) によらず、両方の極限は無限大になります。 \[ \lim_{x \to -\infty} e^{-x}\sin x = \infty, \quad \lim_{x \to -\infty} e^{-x}\cos x = \infty \]

2. 微分

2.1. \( e^{-x}\sin x \) の微分

積の微分法則を使って計算します。

\[ \frac{d}{dx} \left( e^{-x}\sin x \right) = -e^{-x}\sin x + e^{-x}\cos x \]

2.2. \( e^{-x}\cos x \) の微分

同様に積の微分法則を使います。

\[ \frac{d}{dx} \left( e^{-x}\cos x \right) = -e^{-x}\sin x – e^{-x}\cos x \]

3. 積分

Cは積分定数とする。

3.1. 部分積分を利用する方法

\( \int e^{-x}\sin x \, dx \)について部分積分を行うと次のようになります。

\[ \int e^{-x} \sin x \, dx = -e^{-x} \cos x – \int -\cos x \cdot (-e^{-x}) \, dx \]

\[  = -e^{-x} \cos x – \int e^{-x} \cos x \, dx \]

ここで、\( I = \int e^{-x} \sin x \, dx \) 、 \( J = \int e^{-x} \cos x \, dx \) とおきます。この式は次のように書き換えられます。

\[ I = -e^{-x} \cos x – J \]

次に、\( J = \int e^{-x} \cos x \, dx \) について部分積分を行います。

\[ \int e^{-x} \cos x \, dx = e^{-x} \sin x – \int \sin x \cdot -e^{-x} \, dx \]

\[ J = e^{-x} \sin x + I \]

先ほどの \( I \) の式と合わせると、

\[ I = -e^{-x} \cos x – (e^{-x} \sin x + I) \]

\[ 2I = -e^{-x} (\sin x + \cos x) \]

したがって、\( I \) は次のように求められます。

\[ I = \int e^{-x} \sin x \, dx = -\frac{1}{2}e^{-x} (\sin x + \cos x) + C \]

同様に、先ほどの式 \( J = e^{-x} \sin x + I \) に \( I = -\frac{1}{2}e^{-x} (\sin x + \cos x) \) を代入して \( J \) を求めます。

\[ J = e^{-x} \sin x + \left(-\frac{1}{2}e^{-x} (\sin x + \cos x)\right) \]

\[ J = \frac{1}{2}e^{-x} (\sin x – \cos x) + C \]

以上の計算により、次の2つの積分が求められます。

\[ \int e^{-x} \sin x \, dx = -\frac{1}{2}e^{-x} (\sin x + \cos x) + C \]

\[ \int e^{-x} \cos x \, dx = \frac{1}{2}e^{-x} (\sin x – \cos x) + C \]

3.2. 微分した式を連立する方法

微分結果を連立させて積分を行い、積分を求めます。

\[ \frac{d}{dx} \left( e^{-x}\sin x \right) = -e^{-x}\sin x + e^{-x}\cos x \]

\[ \frac{d}{dx} \left( e^{-x}\cos x \right) = -e^{-x}\sin x – e^{-x}\cos x \]

$ \displaystyle\int e^{-x} \cos x \, dx $を求めます。

この2つの式を連立させて積分します。

まず、最初の微分式を整理してみます。

\[ \frac{d}{dx} \left( e^{-x}\sin x \right) – \frac{d}{dx} \left( e^{-x}\cos x \right) = \left(-e^{-x}\sin x + e^{-x}\cos x \right) – \left(-e^{-x}\sin x – e^{-x}\cos x\right) \]

\[ = 2e^{-x}\cos x \]

次に、得られた式を両辺積分します。

\[ \int \frac{d}{dx} \left( e^{-x}\sin x \right) – \frac{d}{dx} \left( e^{-x}\cos x \right) \, dx = \int 2e^{-x}\sin x \, dx \]

左辺は、積分と微分が打ち消し合うため、元の関数が得られます。

\[ e^{-x}\sin x – e^{-x}\cos x = \int 2e^{-x}\cos x \, dx \]

したがって、積分結果は次のように表されます。

\[ \int e^{-x}\cos x \, dx = -\frac{1}{2} \left( e^{-x}\sin x – e^{-x}\cos x \right) + C \]

ここで、\(C\) は積分定数です。

では、\(\displaystyle\int e^{-x}\cos x \, dx\) も求めてみましょう。

まず、2つ目の微分式を整理します。

\[ \frac{d}{dx} \left( e^{-x}\cos x \right) + \frac{d}{dx} \left( e^{-x}\sin x \right) = \left( -e^{-x}\sin x – e^{-x}\cos x \right) + \left( -e^{-x}\sin x + e^{-x}\cos x \right) \]

\[ = -2e^{-x}\sin x \]

次に、得られた式を両辺積分します。

\[ \int \frac{d}{dx} \left( e^{-x}\cos x \right) + \frac{d}{dx} \left( e^{-x}\sin x \right) \, dx = \int -2e^{-x}\cos x \, dx \]

左辺は、積分と微分が打ち消し合うため、元の関数が得られます。

\[ e^{-x}\cos x + e^{-x}\sin x = \int -2e^{-x}\sin x \, dx \]

したがって、積分結果は次のように表されます。

\[ \int e^{-x}\sin x \, dx = -\frac{1}{2} \left( e^{-x}\cos x + e^{-x}\sin x \right) + C \]

ここで、\(C\) は積分定数です。

4. グラフ

4.1. 極値

\[ f'(x) = -e^{-x}\sin x + e^{-x}\cos x \]

極値を求めるためには、導関数がゼロになる点を求めます。

\[ f'(x) = e^{-x} ( -\sin x+\cos x) = 0 \]

ここで、\( e^{-x} \) は常に正の値なので、極値は次の条件を満たす \( x \) で生じます。

\[ -\sin x+\cos x = 0 \]

三角関数の合成を行うと次のようになります。

\[ \sqrt{2} \sin\left(x + \frac{3}{4}\pi\right) = 0 \]

したがって、$x$は次のようになります。

\[ x + \frac{3}{4}\pi = n\pi \quad (n \in \mathbb{Z}) \]

\[ x = n\pi – \frac{3}{4}\pi \quad (n \in \mathbb{Z}) \]

増減表は次のように書くことができます。

4.2. グラフ

グラフをプロットすると次のようになります。赤い点は極値です。