楕円積分の意味、ルジャンドルの標準形とヤコビの標準形について
1. 楕円積分とは
楕円積分は、その形状が楕円の長さや面積の計算に関連しています。また、楕円積分は通常、第一種、第二種、および第三種に分類されます。一般的には以下のように定義されます。
2. 楕円積分の登場
2.1. 第一種楕円積分と単振り子
単振り子の周期 \(T\) は、次のように与えられます。
\[ T = 4 \sqrt{\frac{L}{g}} \int_0^{\frac{\pi}{2}} \frac{d\phi}{\sqrt{1 – \sin ^2 \left(\frac{\theta_0}{2}\right)\sin^2 \phi}} \]
ここで、\(k = \sin \left(\frac{\theta_0}{2}\right)\) と置くと、第一種楕円積分 で表されます。
\[ T = 4 \sqrt{\frac{L}{g}} F \left( \dfrac{\pi}{2},\sin \left(\frac{\theta_0}{2}\right)\right) \]
2.2. 第二種楕円積分と楕円の弧長
楕円の弧長を、媒介変数表示\(x = a \sin\theta\), \(y = b \cos\theta\) を用いて、パラメータ \(\theta\) が \(0\) から \(\phi\) までの範囲で求めることを考えます。
楕円の弧長 \(L\) は次の積分で与えられます。
\[ L = \int_{0}^{\phi} \sqrt{\left(\frac{dx}{d\theta}\right)^2 + \left(\frac{dy}{d\theta}\right)^2} \, d\theta \]
まず、\(\frac{dx}{d\theta}\) と \(\frac{dy}{d\theta}\) を計算します。
\[ \frac{dx}{d\theta} = a \cos\theta, \quad \frac{dy}{d\theta} = -b \sin \theta \]
これを弧長の式に代入すると、
\[ L = \int_{0}^{\phi} \sqrt{(a \cos\theta)^2 + (-b \sin \theta)^2} \, d\theta \]
\[ = \int_{0}^{\phi} \sqrt{a^2 \cos^2 \theta + b^2 \sin ^2 \theta} \, d\theta \]
\[ = \int_{0}^{\phi} \sqrt{a^2 (1-\sin ^2 \theta) + b^2 \sin ^2 \theta} \, d\theta \]
\[ = a\int_{0}^{\phi} \sqrt{(1-\sin ^2 \theta) + \frac{b^2}{a^2} \sin ^2 \theta} \, d\theta \]
\[ \therefore L = a\int_{0}^{\phi} \sqrt{1 – \frac{(a^2 – b^2)}{a^2} \sin^2 \theta} \, d\theta \]
ここで、\(k = \sqrt{\dfrac{a^2 – b^2}{a^2}}\) と置くと、
\[ L = a \int_{0}^{\phi} \sqrt{1 – k^2 \sin^2 \theta} \, d\theta \]
したがって、弧長 \(L\) は次のように表されます。
\[ L = a E(\phi, \sqrt{\dfrac{a^2 – b^2}{a^2}}) \]
2.3. 第二種楕円積分とsinの長さ
関数 \( y = \alpha \sin x \) の \( x = 0 \) から \( x = \phi \) までの区間における曲線の長さ \( L \) を求めます。
\( y = \alpha \sin x \) に対して、導関数 \( \frac{dy}{dx} \) を計算します。 \[ \frac{dy}{dx} = \alpha \cos x \]
導関数を長さの公式に代入すると、曲線の長さ \( L \) は次のようになります。 \[ L = \int_{0}^{\phi} \sqrt{1 + \alpha^2 \cos^2 x} \, dx \]
曲線の長さの積分を第二種楕円積分へ変形するために、次のように書き換えます。
\[ L = \int_{0}^{\phi} \sqrt{1 + \alpha^2 (1 – \sin^2 x)} \, dx = \int_{0}^{\phi} \sqrt{1 + \alpha^2 – \alpha^2 \sin^2 x} \, dx \]
\[ \therefore L = \int_{0}^{\phi} \sqrt{(\alpha^2 + 1) – \alpha^2 \sin^2 x} \, dx \]
ここで、 \( k = \sqrt{\dfrac{\alpha^2}{\alpha^2 + 1} }\) と置くと
\[ = \sqrt{\alpha^2 + 1} \int_{0}^{\phi} \sqrt{1 – \frac{\alpha^2}{\alpha^2 + 1} \sin^2 x} \, dx \]
\[\therefore L = \sqrt{\alpha^2 + 1} E\left(\phi, \sqrt{\frac{\alpha^2}{\alpha^2 + 1}}\right) \]
3. ルジャンドルの標準形とヤコビの標準形
3.1. ヤコビの標準形
ヤコビの標準形で楕円積分を表すと次のようになります。
\[ E(x, k) = \int_0^x \frac{\sqrt{1 – k^2 t^2}}{\sqrt{1 – t^2}} \, dt \]
\[ \Pi(n, x, k) = \int_0^x \frac{dt}{(1 – n t^2) \sqrt{(1 – t^2)(1 – k^2 t^2)}} \]
3.2. 第一種楕円積分
ルジャンドルの標準形 \( F(\phi, k) = \int_0^\phi \frac{d\theta}{\sqrt{1 – k^2 \sin^2 \theta}} \)の変数変換をしてみます。
\(\sin \theta = t\) を用います。これにより、\(d\theta = \frac{dt}{\sqrt{1 – t^2}}\) となります。
したがって、ルジャンドルの第一種楕円積分は次のように変換されます。
\[ F(\phi, k) = \int_0^{\sin \phi} \frac{\frac{dt}{\sqrt{1 – t^2}}}{\sqrt{1 – k^2 t^2}} = \int_0^{\sin \phi} \frac{dt}{\sqrt{(1 – t^2)(1 – k^2 t^2)}} \]
この式はヤコビの標準形と一致します。
3.3. 第二種楕円積分
ルジャンドルの標準形 \(E(\phi, k) = \int_0^\phi \sqrt{1 – k^2 \sin^2 \theta} \, d\theta\)の変数変換をしてみます。
\(\sin \theta = t\) を用います。これにより、\(d\theta = \frac{dt}{\sqrt{1 – t^2}}\) となります。
したがって、ルジャンドルの第二種楕円積分は次のように変換されます。
\[ E(\phi, k) = \int_0^{\sin \phi} \sqrt{1 – k^2 t^2} \cdot \frac{dt}{\sqrt{1 – t^2}} = \int_0^{\sin \phi} \frac{\sqrt{1 – k^2 t^2}}{\sqrt{1 – t^2}} \, dt \]
この式はヤコビの標準形と一致します。
3.4. 第三種楕円積分
ルジャンドルの標準形 \(\Pi(n, \phi, k) = \int_0^\phi \frac{d\theta}{(1 – n \sin^2 \theta) \sqrt{1 – k^2 \sin^2 \theta}}\)の変数変換をしてみます。
\(\sin \theta = t\) を用います。これにより、\(d\theta = \frac{dt}{\sqrt{1 – t^2}}\) となります。
したがって、ルジャンドルの第二種楕円積分は次のように変換されます。
\[ \Pi(n, \phi, k) = \int_0^{\sin \phi} \frac{\frac{dt}{\sqrt{1 – t^2}}}{(1 – n t^2) \sqrt{1 – k^2 t^2}} = \int_0^{\sin \phi} \frac{dt}{(1 – n t^2) \sqrt{(1 – t^2)(1 – k^2 t^2)}} \]
この式はヤコビの標準形と一致します。
