【0割注意】方程式ax+b=0の解き方、方程式と一次方程式の違いについて
1. 方程式ax+b=0の解き方
この問題はaで場合分けが必要です。では、なぜaで場合分けが必要なのでしょうか？
1.1. 場合分けをする理由
方程式 \( ax + b = 0 \) を解く際に場合分けが必要になる理由は、係数 \( a \) の値に依存して方程式の性質が変わるからです。具体的には、\( a \) が 0 か 0 でないかによって、方程式の解き方や解の存在が変わります。言い換えると、方程式は一次方程式である必要はないのです。仮に、問題文で一次方程式であることが明言されていた場合、\( a \) は0でないので、場合分けを行う必要がありません。
1.2. 場合1: \( a \neq 0 \) の場合
この場合、\( ax + b = 0 \) は一次方程式となります。\( a \neq 0 \) なので、以下の手順で解くことができます。
方程式 \( ax + b = 0 \) から \( b \) を移項して、\( ax = -b \) とします。
両辺を \( a \) で割ることで、\( x = -\frac{b}{a} \) を得ます。
したがって、この場合の解は \[ x = -\frac{b}{a} \] となります。
1.3. 場合2: \( a = 0 \) の場合
この場合、方程式は \( 0 \cdot x + b = 0 \)、すなわち \( b = 0 \) となります。
\( b = 0 \) の場合: 方程式は \( 0 = 0 \) となり、\( x \) は任意の値を取ります。つまり解は無限に存在します。
\( b \neq 0 \) の場合: 方程式は \( b = 0 \) となり、これは矛盾します。したがって、この場合は解が存在しません。
以上より、
- \( a \neq 0 \) の場合、解は \( x = -\frac{b}{a} \) です。
- \( a = 0 \) で \( b = 0 \) の場合、解は無限に存在します。
- \( a = 0 \) で \( b \neq 0 \) の場合、解は存在しません。
2. 一次方程式ax+b=0の解き方
与えられた方程式 \( ax + b = 0 \)の\( b \) を右辺に移項します。
$$ ax = -b $$
$a\neq 0$より、両辺を \( a \) で割る
$$ x = -\frac{b}{a} $$
